Irrationale Rotationsalgebra
Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.
Konstruktion
Im Folgenden sei eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den -Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe mittels mit dem Einheitskreis identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren und :
- , wobei
und
ist ein Multiplikationsoperator und rotiert eine Funktion um den Winkel .
Die von und erzeugte C*-Algebra heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel und wird mit bezeichnet.[D 1]
Eigenschaften
- Leicht bestätigt man , in der Tat ist
- .
- Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren und erzeugt wird, die die Relation erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus mit und .[D 2]
- ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer und sich selbst.
- Es gibt eine eindeutige Spur , das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional mit für alle , für alle und , wobei das Einselement in sei.[D 3]
- Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.
Alternative Konstruktion
Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum mit der Orthonormalbasis vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren durch:
(unendliche Diagonalmatrix).
Dann bestätigt man leicht , woraus folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus .
K-Theorie
Nach einem Satz von Marc Rieffel[2] gibt es zu jedem eine Projektion mit , wobei die eindeutige Spur auf sei.
Da eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra , die diese Gruppe als K0-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra , die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung konstruieren[3]. Daraus folgt zunächst und dann[D 4]:
- Zwei irrationale Rotationsalgebren und sind genau dann isomorph, wenn ist.
Kreuzprodukt
Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist durch definiert und ist , so ist ein C*-dynamisches System und es ist .[D 5]
Einzelnachweise
- I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras, J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166
- M. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429
- M. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra, Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118
K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1:
- Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra
- Theorem VI.1.4
- Satz VI.1.3
- Korollar VI.5.3
- Beispiel VIII.1.1