Irrationale Rotationsalgebra

Die irrationalen Rotationsalgebren werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt s​ich um e​ine Klasse v​on C*-Algebren, d​ie sich a​us der C*-Algebra d​er stetigen, komplexwertigen Funktionen a​uf dem Einheitskreis zusammen m​it einer Rotation dieses Einheitskreises u​m einen irrationalen Winkel ergeben.

Konstruktion

V dreht den Definitionsbereich von Funktionen

Im Folgenden sei eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den -Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe mittels mit dem Einheitskreis identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren und :

, wobei

und

ist ein Multiplikationsoperator und rotiert eine Funktion um den Winkel .

Die von und erzeugte C*-Algebra heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel und wird mit bezeichnet.[D 1]

Eigenschaften

  • Leicht bestätigt man , in der Tat ist
.
  • Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren und erzeugt wird, die die Relation erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus mit und .[D 2]
  • ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer und sich selbst.
  • Es gibt eine eindeutige Spur , das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional mit für alle , für alle und , wobei das Einselement in sei.[D 3]
  • Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in .[1]
  • Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

Alternative Konstruktion

Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum mit der Orthonormalbasis vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren durch:

(zweiseitiger Shift),

(unendliche Diagonalmatrix).

Dann bestätigt man leicht , woraus folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus .

K-Theorie

Nach einem Satz von Marc Rieffel[2] gibt es zu jedem eine Projektion mit , wobei die eindeutige Spur auf sei.

Da eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra , die diese Gruppe als K0-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra , die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung konstruieren[3]. Daraus folgt zunächst und dann[D 4]:

  • Zwei irrationale Rotationsalgebren und sind genau dann isomorph, wenn ist.

Kreuzprodukt

Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist durch definiert und ist , so ist ein C*-dynamisches System und es ist .[D 5]

Einzelnachweise

  1. I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras, J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166
  2. M. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429
  3. M. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra, Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118

K. R. Davidson: C*-Algebras b​y Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1:

  1. Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra
  2. Theorem VI.1.4
  3. Satz VI.1.3
  4. Korollar VI.5.3
  5. Beispiel VIII.1.1
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