Geometrische Relationenalgebra

Die v​on Hans-Joachim Arnold begründete Geometrische Relationenalgebra i​st eine Spezialisierung d​er Geometrischen Algebra[1][2][3] u​nd somit Teilgebiet einerseits d​er Inzidenz- bzw. Synthetischen Geometrie u​nd andererseits d​er Universellen Algebra. Ausgehend v​on der Zielsetzung d​er Geometrischen Algebra, m​it Objekten d​er geometrischen Anschauung w​ie Ebenen, Winkel u​nd Kreisen s​owie mit geometrischen Operationen w​ie Schnitten v​on verschiedenen Objekten o​der Transformationen s​ehr einfach z​u rechnen u​nd sich d​abei im Wesentlichen d​er geometrischen Interpretation v​on algebraischen Systemen w​ie Vektoralgebren, Quaternionen etc. z​u bedienen, werden i​n der Geometrischen Relationenalgebra (fast) ausschließlich Relationensysteme z​ur algebraischen Beschreibung v​on geometrischen Artefakten verwendet. Dieser s​eit Mitte d​er 1970er Jahre entwickelte Kalkül beantwortet erstmals vollständig d​ie Frage n​ach einer synonymen, a​lso isomorphen – u​nd nicht w​ie bisher m​it Hilfe v​on Ternärkörpern u​nd anderen Modellen n​ur isotopen – algebraischen Beschreibung a​ller affinen u​nd projektiven Geometrien u​nd ermöglicht d​urch das Prinzip „operator operandum“ e​inen intuitiv einfachen Zugang z​u einer Fernraumgeometrie. Bedeutendster Aspekt ist, d​ass sich für aufwändig z​u beschreibende geometrische Schnittpunktsätze (z. B. affiner u​nd projektiver Satz v​on Desargues, Invarianzsatz v​on Hessenberg) i​n der Geometrischen Relationenalgebra notwendige u​nd hinreichende Bedingungen m​it einfachen „Rechenregeln“, a​lso das Hintereinanderausführen v​on Relationen i​n den „Homogenitätsregeln“, angeben u​nd beweisen lassen („Prinzip d​er konstruktiven Erweiterbarkeit“). Die Methodik findet darüber hinaus Anwendungen i​n den Kognitionswissenschaften u​nd insbesondere i​n der Systemtheorie: Hier werden m​it dem relationalen Kalkül s​o unterschiedliche Systeme w​ie zeitdiskrete, zeitkontinuierliche (lineare u​nd nichtlineare) dynamische Systeme u​nd Fuzzy-Systeme inklusive wichtiger Systemeigenschaften m​it derselben mathematischen Sprache (synonym) beschrieben. Zentrale Begriffe d​er Geometrischen Relationenalgebra s​ind geometrische Relative, Regel-Relative u​nd Handlungsrelative – u​nd die daraus abgeleiteten Derivate.

Methodik

In der Geometrischen Relationenalgebra werden geometrische Konfigurationen wie Geraden, Winkel, Dreiecke als Systeme von Relationen einer geeigneten Relationenalgebra, die auf einzelne Punkte einer Punktmenge angewendet werden, dargestellt. So ist beispielsweise eine Gerade in einer affinen Geometrie mit Punktmenge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ in der synonymen Beschreibung eines affinen Relativs, also einer Menge ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ zweistelliger Relationen auf ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$, darstellbar als ${\displaystyle A{\mathfrak {B}}=\{C\in {\mathfrak {P}}\mid A{\mathfrak {B}}C\}}$ für gegebenes ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, welches eine Äquivalenzklasse paralleler Geraden repräsentiert. ${\displaystyle A{\mathfrak {B}}C}$ lässt sich dann so verstehen, dass die Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$ in dieser Klasse liegt, siehe weiter das Übergangsverfahren in 2.1.1.1. Mit diesem Ansatz war es möglich, das zentrale Anliegen der Geometrischen Algebra, eine synonyme algebraische Kennzeichnung aller affinen und projektiven Geometrien bereitzustellen, abschließend mit Begrifflichkeiten aus der Relationenalgebra zu lösen. In dieser Fragestellung des letzten Jahrhunderts zeigten die bis dato bereitgestellten Strukturen der universellen Algebra wie Vektorräume über Schiefkörpern, Ternärkörper, Quasimoduln etc. wegen fehlender Koordinatenbereiche oder wegen Abhängigkeiten von der Wahl eines für das Übergangsverfahren benötigten Koordinatensystems eklatante Schwächen auf: So sind die von Marshall Hall eingeführten Ternärkörper zur Beschreibung beliebiger projektiver Ebenen unbefriedigend, da die Kennzeichnung i. A. nicht eindeutig, sondern nur noch isotop ist, d. h., ein und dieselbe projektive Ebene kann zwei nicht isomorphe Ternärkörper induzieren.[4] Auch die von Emanuel Sperner eingeführten Quasimoduln weisen dieselben Mängel auf[5]. Erschwerend kommt hinzu, das bei manchen Algebraisierungen die Gültigkeit des Satzes von Desargues vorausgesetzt werden muss. Seit der Konstruktion der Moulton-Ebene kennt man sogar nicht-desaguessche affine Ebenen, wobei allerdings jeder affine Raum desarguessch ist.

Mit den von Hans-Joachim Arnold in den 1970er Jahren entwickelten zweistelligen affinen und projektiven Relativen (die letzteren wurden von ihm zunächst als projektive Multigruppen bzw. projektive Punktoperationen in Anlehnung an frühere Bezeichnungen von Walter Prenowitz[6] bezeichnet), die aus einer Menge von Relationen bestehen, die auf der Punktmenge der vorgelegten Geometrie operieren, kehren die Übergangsverfahren der Algebraisierung und Geometrisierung synonym, d. h. bis auf Isomorphie, einander um[7]. Die operatorisch auf der Grundmenge einwirkenden Elemente der Relationenmenge werden in einem weiteren Schritt selbst auch Gegenstände eines sekundären Operierens, vermittels des Relationenproduktes. Das sich damit ausdrückende Prinzip „operator operandum“ des Algebraisierens findet seine direkte Anwendung in der Ableitung der projektiven Multigruppen, die der algebraischen Beschreibung der projektiven Fernraumstruktur der zugrundegelegten Geometrie dienen. Ein weiterer Vorteil der relationenalgebraischen Methodik liegt in ihrer „konstruktiven Erweiterbarkeit“: Ohne die gewählte Sprache der Relationenalgebra verlassen zu müssen, ist dieser Kalkül geeignet, für reichhaltige geometrische Zusatzaxiome (Schließungssätze) äquivalente einfache und gut handhabbare Rechenregeln anzugeben. Insbesondere wird die spätestens seit Hilbert's Grundlagen der Geometrie aufgeworfenen Fragestellung der Geometrischen Algebra, ob eine vorgelegte Geometrie desarguessch ist, auf ihrer nunmehr vorhandenen algebraischen Entsprechung mit der Gültigkeit einer bestimmten Verknüpfungsregel der zugrundeliegenden Relationen – der affinen oder projektiven Homogenitätsregel – beantwortet. Die bisher angewendeten Kalküle der Universellen Algebra liefern dazu lediglich Umschreibungen der geometrischen Aussagen, die über das geometrisch-kombinatorische Arbeiten mit Schnittpunkt-Konfigurationen noch nicht hinausgehen.

Die Ergänzung d​er affinen Relative u​m einen Richtungsbegriff[8] i​st nicht n​ur adäquate Beschreibung v​on angeordneten Geometrien, sondern liefert a​uch Erkenntnisse i​n der Kognitionstheorie: Der v​on den Entwicklungspsychologen Jean Piaget u​nd Hans Aebli geprägte Begriff d​es Handlungsschemas w​ird mit binären Handlungsfeldern interpretiert, d​ie wiederum beschreibbar z​u ihrer relationalen Algebraisierung d​urch affine Richtungsrelative sind.[9]

Die Sprache der Geometrischen Relationenalgebra erweist sich als so mächtig, dass sie neben den etablierten differentialalgebraischen[10] bzw. differentialgeometrischen[11] Kalkülen eine weitere Methode[12] zur (synonymen) Beschreibung beliebiger linearer und nichtlinearer sowie Fuzzy-Systeme[13] der Regelungstheorie bereitstellt und darüber hinaus in der Lage ist, erstmals geometrische Schließungssätze in den Zustandsräumen der dynamischen Systeme mit dem entsprechenden relationalen Systemkalkül anzugeben.

Grundlegende Begriffe und Ergebnisse

Affiner Teil

Man spricht von einem n-stelligen Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(n)})}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{A,B,C\dots \}\neq \emptyset .}$
• eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{(n)}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}^{(n)})\setminus \left\{\emptyset \right\}}$ von ${\displaystyle n}$ -stelligen Relationen auf der Grundmenge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}.}$

Ein zweistelliges Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ heißt einfach graphisch, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Scharf einfache Transitivität: ${\displaystyle \bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigvee _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}^{1}:A{\mathfrak {D}}B}$. Zu zwei vorgegebenen Punkten ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {P}}}$ gibt es genau eine „Verbindungs“-Relation ${\displaystyle {\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}$, man setzt:${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}=AB:\Leftrightarrow A{\mathfrak {D}}B.}$
2. Abgeschlossenheit bezüglich Gleichheitsrelation: ${\displaystyle \bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:A(BB)C\Leftrightarrow A=C}$. Gleichbedeutend ist dies damit, dass für die Gleichheitsrelation ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ auf ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ gilt: ${\displaystyle {\mathfrak {E}}\in {\mathcal {R}}}$.
3. Abgeschlossenheit bezüglich Inversen: ${\displaystyle \bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:AB^{-1}=BA}$. Die inverse Relation (Umkehrrelation) ${\displaystyle {\mathfrak {D}}^{-1}}$ zu einer gegebenen Relation ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ ist auch in ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ enthalten.
4. Linkstotalität:${\displaystyle \bigwedge _{A\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}\bigvee _{B\in {\mathfrak {P}}}:A{\mathfrak {D}}B}$. Die Relationen genügen einer gewissen Reichhaltigkeit.

Ein zweistelliges, einfach graphisches Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ heißt homogen, wenn gilt:

${\displaystyle (H_{2})\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {A,B}}\in {\mathcal {R}}}:A({\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}})B\Rightarrow AB\subset {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}.}$

Diese Formel w​ird als zweistufige Homogenitätsregel bezeichnet, s​ie ist äquivalent z​u folgendem Ausdruck:

${\displaystyle (H_{2})\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AC\circ CB.}$

Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ heißt affines Richtungsrelativ, wenn die Relationen folgenden Eigenschaften genügen:

1. Streng alternierende Relationen: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}^{-1}={\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {A}}^{-1}\cup {\mathfrak {E}}}$
2. Idempotente Relationen: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}}$
3. Antisymmetrische Relationen: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {A}}^{-1}=\emptyset }$
4. Kommutierende Relationen: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}\circ {\mathfrak {A}}}$

Man spricht von einem affinen Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$, wenn das Relativ einfach graphisch und homogen ist und die Relationen in ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ symmetrisch alternierend sind, d. h.:

1. Symmetrie: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}^{-1}}$
2. Alternierende Relationen: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}^{-1}\subset {\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {E}}}$

Jedes affine Richtungsrelativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ stiftet ein affines Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {\tilde {R}}})}$, wenn gesetzt wird: ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {R}}}:=\{{\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {A}}^{-1}\mid {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}\}.}$

Man spricht von einer affinen Geometrie ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )}$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,}$
• eine Menge von Geraden ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}),}$
• die mengentheoretische Elementbeziehung ${\displaystyle \in }$ als Inzidenzrelation,
• eine Parallelenrelation ${\displaystyle \parallel }$ auf ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

und w​enn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: Durch zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle A,\,B}$ geht genau eine Gerade ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle A,B\in g}$. Man setzt für diese eindeutig bestimmte Verbindungsgerade ${\displaystyle g}$ auch ${\displaystyle g_{AB}}$.
2. Geraden sind Verbindungsgeraden: Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
3. Die Parallelenrelation ${\displaystyle \parallel }$ ist eine Äquivalenzrelation
4. Euklidisches Parallelenpostulat: Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
5. Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke (Tamaschke-Axiom): Wenn ein Dreieck (drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte) ${\displaystyle ABC}$ gegeben ist und zwei Punkte ${\displaystyle A'}$ und ${\displaystyle B'}$ derart, dass die Gerade ${\displaystyle AB}$ parallel zu der Geraden ${\displaystyle A'B'}$ liegt, so gibt es einen Punkt ${\displaystyle C'}$ so, dass auch ${\displaystyle AC}$ parallel zu ${\displaystyle A'C'}$ und ${\displaystyle BC}$ parallel zu ${\displaystyle B'C'}$ liegen.

Aus einem affinen Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens ${\displaystyle \gamma }$ eine affine Geometrie ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma$ :}

${\displaystyle {\mathfrak {G}}:=\{A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\mid A\in {\mathfrak {P}}\wedge {\mathfrak {B}}\in {\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}\}}$

${\displaystyle A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\parallel A'({\mathfrak {B}}'\cup {\mathfrak {E}}):\Leftrightarrow {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}'.}$

Aus einer affinen Geometrie ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )}$ entsteht durch Anwendung des Verfahrens ${\displaystyle \alpha }$ ein affines Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha$ :}

${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{\left\langle g\right\rangle \subset {\mathfrak {P}}^{2}\mid g\in {\mathfrak {G}}\}\cup \{{\mathfrak {E}}\}}$

${\displaystyle A\left\langle g\right\rangle B:\Leftrightarrow A\neq B\wedge g_{A,B}\parallel g.}$

Für alle affinen Relative ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ und alle affinen Geometrien ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )}$ gilt:

${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha \gamma \cong ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel ).}$

${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma \alpha \cong ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}).}$

Affine Relative u​nd affine Geometrien s​ind synonym zueinander, d​er (H2)-Homogenitätsregel a​uf der algebraischen Seite entspricht d​ie Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke a​uf der geometrischen Seite.

Die Klasse der dreistelligen affinen Relative erweist sich ebenfalls als synonym zur Klasse der affinen Geometrien. Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$, also ein Relativ, dessen Relationenmenge scharf einfach transitiv, abgeschlossen gegenüber Gleichheitsrelation und Inversion, linkstotal und homogen ist, definiert mit

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {R}}^{(3)}\;:=\;\{ABC\mid A,B,C\in {\mathfrak {P}}\}\\(A',B',C')\in ABC\;:\Leftrightarrow \;A'(AB)B'\wedge B'(BC)C'\wedge A'(AC)C'\end{cases}}}$

ein einfach graphisches dreistelliges Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})}$.

Mit der Definition ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})\pi$ :=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)}{\mathcal {F}}_{2})} unter Anwendung eines Projektionsfunktors ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ auf jeweils 2 Stellen der dreistelligen Relationen wird ein synonymer Zusammenhang hergestellt einerseits zwischen der Klasse der zweistelligen einfach graphischen Relative, die überdies homogen sind und andererseits der Klasse der dreistelligen einfach graphischen Relative. Diese werden affin genannt, wenn ihre 2-stellige Projektion es ist.

Projektiver Teil

Man spricht von einer Multigruppe ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})}$, wenn gegeben sind:

• eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}}$
• eine zweistellige Operation

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\longrightarrow \mathrm {Pot} \;{\mathcal {P}}\setminus \{\emptyset \}\\{\mathfrak {A,B}}\longmapsto {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}:={\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\end{array}}\right.}$

• eine Involution

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {P}}\longrightarrow {\mathcal {P}}\\{\mathfrak {A}}\longmapsto {\overline {\mathfrak {A}}}\end{array}}\right.}$

• ein neutrales Element ${\displaystyle {\mathfrak {E}}\in {\mathcal {P}}}$ mit ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {E}}}={\mathfrak {E}}}$

und w​enn folgende Eigenschaften m​it der Erweiterung

${\displaystyle \mathrm {Pot} \;{\mathcal {P}}\setminus \{\emptyset \}\ni {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\mapsto {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}:=\bigcup _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {A}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {B}}}{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}$

gelten:

1. Existenz eines neutralen Elements: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\mathfrak {E}}={\mathfrak {E}}{\mathfrak {A}}=\{{\mathfrak {A}}\}}$.
2. Idempotenzregel: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\overline {\mathfrak {A}}}\subset \{{\mathfrak {A}},{\overline {\mathfrak {A}}},{\mathfrak {E}}\}}$.
3. Austauschregel: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {C}}\;\succ \;{\mathfrak {C}}{\overline {\mathfrak {B}}}\ni {\mathfrak {A}}}$.
4. Assoziativgesetz: ${\displaystyle ({\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}){\mathfrak {C}}\;=\;{\mathfrak {A}}({\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}})}$.
5. Kommutativgesetz: ${\displaystyle {\overline {{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}}\;=\;{\overline {\mathfrak {B}}}\;{\overline {\mathfrak {A}}}}$.

${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}$ ist ein Produkt des in ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})}$ mit ${\displaystyle \;\cdot \;}$ zitierten Multiplikationszeichens; der Malpunkt wird also nicht mehr geschrieben. Ist der involutorische Antiautomorphismus ${\displaystyle \;{\overline {.}}\;}$ einer Multigruppe ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})}$ gleich der Identität auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, so spricht man von einer projektiven Multigruppe ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})}$.

Man spricht von einer projektiven Geometrie ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )}$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\displaystyle \mathbb {P} =\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,}$
• eine Menge von Geraden ${\displaystyle \mathbb {G} =\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} (\mathbb {P} ),}$
• die mengentheoretische Elementbeziehung ${\displaystyle \in }$ als Inzidenzrelation,

und w​enn die folgenden Axiome gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade ${\displaystyle g_{AB}}$, die mit ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ inzidiert.
2. Reichhaltigkeitsaxion: Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte
3. Veblensches Axiom: Sind ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ vier Punkte, so dass ${\displaystyle g_{A,B}}$ und ${\displaystyle g_{C,D}}$ mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch ${\displaystyle g_{A,C}}$ und ${\displaystyle g_{B,D}}$ mit einem gemeinsamen Punkt.

Aus einer projektiven Geometrie ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )}$ mit ${\displaystyle \lambda }$ als Kennzeichen ihrer Ordnung, also der Anzahl von Punkten auf einer Geraden, entsteht eine projektive Multigruppe ${\displaystyle ({\mathcal {P}}:=\mathbb {P} \cup \{{\mathfrak {E}}\};\cdot ,{\mathfrak {E}})}$, wenn man setzt: ${\displaystyle \bigwedge _{A,B\in \mathbb {P} }\;A\cdot B:={\begin{cases}\{A\},&{\text{falls }}\;A=B,\,\lambda =3\\\{A,{\mathfrak {E}}\},&{\text{falls }}\;A=B,\,\lambda >3\\g_{A,B},&{\text{falls }}\;A\neq B.\end{cases}}}$

Aus einer projektiven Multigrppe ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})}$ entsteht eine projektive Geometrie ${\displaystyle (\mathbb {P}$ :={\mathcal {P}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\},\mathbb {G} ,\in )} mit ${\displaystyle \mathbb {G}$ :=\{{\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\mid {\mathfrak {A}}\neq {\mathfrak {B}}\in \mathbb {P} \},\;{\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}:={\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\cup \{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\}}

Aufgrund d​es synonymen Zusammenhangs s​ind projektive Multigruppen u​nd projektive Geometrien z​wei verschiedene Sprechweisen für e​in und denselben Sachverhalt.

Weitere synonyme Beziehungen

Mit den affinen Relativen, seinerzeit noch ohne Homogenitätsregeln, beschreibt Arnold – ein Schüler von Emanuel Sperner – in den 1970er Jahren vollständig und synonym die Sperner Spaces, das Pendant der projektiven Multigruppen / projektiven Relative, ebenfalls noch ohne Homogenitätsregel, dann die projektiven Geometrien. Jeder Operator ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\in {\mathcal {R}}}$ eines binären affinen Relativs ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ entspricht der (noch ungeordneten) Richtung einer Parallelschar in der zugehörigen affinen Geometrie, die als Produkt geschriebene Verknüpfung ${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}$ einer projektiven Multigruppe ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})}$ bedeutet das Ziehen der Verbindungsgeraden in der zugehörigen projektiven Geometrie. Mit der Hinzunahme einer Antisymmetrie der Operatoren in den affinen Relativstrukturen und durch die Einführung einer Inversion und die Zerlegung eines Punktes in ein ungeordnetes Paar zueinander inverser Algebrenelemente in den projektiven Relativen / Multigruppen gelingt Hans-Joachim Arnold dann die Zerlegung der Geraden in zwei entgegengesetzte Halbstrahlen analog der Hilbertschen Zwischenlage, das Resultat ist eine synonyme Beschreibung Hilbertsch angeordneter affiner und projektiver Geometrien durch affine Richtungsrelative und projektive Punktoperationen / Multigruppen mit Involution[14]. Thomas Ledabo schwächt die Axiome beider darstellenden Algebren ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ und ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})}$ derartig ab, dass mit seinen affinen Präferenzrelativen und projektiven Punktalgebren angeordnete und im eigentlichen Sinne nicht anordenbare Modelle affiner und projektiver Geometrien einschließlich ihrer Fernstrukturen unter einem einheitlichen Algebraisierungsverfahren und einer einheitlichen algebraischen Struktur betrachtet werden können.[15] Für die synonyme Algebraisierung Spernerscher angeordneter – kurz: halbgeordneter – affiner Geometrien werden Orientierungsfunktionen verwendet[16], wie sie Helmut Karzel und Hanfried Lenz für die Spernerschen Ordnungsfunktionen[17] festlegen. Der relationentheoretische Kalkül erweist sich dann auch noch wirksam in allgemeineren geometrischen Bereichen: Affine Liniengeometrien, deren wesentlicher Unterschied zu herkömmlichen affinen Geometrien in der Existenz von mehreren Verbindungslinien zu zwei verschiedenen Punkten ist und affine Gitter, also affine Linengeometrien mit der Existenz eines maximalen Elementes in der Menge der einer vorgegebenen Linie umfassenden Linien werden mit Linienrelativen synonym beschrieben.[18] Roland Soltysiak gelang der Nachweis des synonymen Zusammenhanges zwischen fastaffinen Relativen 1. Art und den von Fastkörpern induzierten fastaffinen Räumen[19] sowie mit den fastaffinen Relativen 2. Art zu Spernerschen Räumen über Fastkörpern[20] – also von regulären Fastvektorräumen induzierten volltranslationsfähigen affinen Geometrien mit distributiver Basis, nebst der relationenalgebraischen Beschreibung der zugehörigen Fernstrukturen[21].

Operator operandum

Der Fernraum gemäß operator operandum wird in der Relationensprache wie folgt ausgedrückt: Ausgehend von einem affinen Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$ wird eine projektive Multigruppe ${\displaystyle ({\mathcal {R}};\cdot ,{\mathfrak {E}})}$ definiert gemäß

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}\longrightarrow \mathrm {Pot} \;{\mathcal {R}}\setminus \{\emptyset \}\\{\mathfrak {A,B}}\longmapsto {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}:=\lbrace {\mathfrak {C}}\in {\mathcal {R}}\;\vert \;{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}\supset {\mathfrak {C}}\rbrace \end{array}}\right.}$

die wiederum die projektive Geometrie ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )}$ des Fernraums von ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma }$ – der Funktor ${\displaystyle \;\gamma }$ ist das Geometrisierungsverfahren – liefert mit der Setzung

${\displaystyle \mathbb {P}$ :={\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}\;,\;\mathbb {G} :=\{{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\cup \{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\}\,\vert \,{\mathfrak {A}}\neq {\mathfrak {B}}\in \mathbb {P} \}}

Konstruktive Erweiterbarkeit

Der beschriebene Gleichklang geometrischer u​nd (relationen-)algebraischer Sprechweise lässt s​ich dann für wichtige geometrische Schließungssätze d​urch geeignete Rechenregeln „konstruktiv erweitern“: Als e​ine wichtige Regel erweist s​ich die zweistufige affine (H2)-Homogenitätsregel,

${\displaystyle (H_{2})\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AC\circ CB.}$

sie i​st auf d​er geometrischen Seite äquivalent z​um Tamaschke-Axiom, d​as für d​ie Verträglichkeit d​es Parallelitäts- m​it dem Schnittpunktbegriff sorgt. Das i​n projektiven Multigruppen gültige Assoziativgesetz i​st äquivalent z​u dem n​ach Oswald Veblen u​nd John Wesley Young benannten Axiom d​er Homogenität, d​as für d​en Schnitt zweier i​n einer projektiven Ebene liegenden Geraden sorgt. Legt m​an dreistellige affine Relative zugrunde, s​o erweisen s​ich diese ebenfalls a​ls synonym z​u den affinen Geometrien, s​iehe oben genanntes Übergangsverfahren.

Mit der Anwendung eines Projektionsfunktors ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1,4}}$ auf die Stellen 1 und 4 im Verkettungsprodukt ${\displaystyle \boxminus }$ zweier dreistelliger Relationen

${\displaystyle AXY\oslash XYB:=(AXY\boxminus XYB){\mathcal {F}}_{1,4}:=}$

${\displaystyle \{(C_{1},C_{2},C_{3},C_{4})\mid (C_{1},C_{2},C_{3})\in AXY\;\wedge \;(C_{2},C_{3},C_{4})\in XYB\}{\mathcal {F}}_{1,4}}$

gilt d​ie dreistufige affine (H3)-Homogenitätsregel

${\displaystyle (H_{3})\;\bigwedge _{A,B,X,Y\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AXY\oslash XYB}$

genau dann, w​enn geometrischerseits der große affine Satz v​on Desargues a​ls Zusatzaxiom gültig ist.

Das primäre Operieren der nunmehr dreistelligen Relationen liefert Parallelperspektiven, zum sekundären Operieren gemäß „operator operandum“ wird ein das Relationenprodukt verallgemeinerndes sogenanntes „inneres Relationenprodukt“ ${\displaystyle \oslash }$ erklärt. Dieses Produkt liefert wieder zweistellige Relationen, die in einem binären affinen Relativ als Projektion des ursprünglichen dreistelligen Relativs liegen. Im Fernraum entspricht der Berechnung des inneren Relationenproduktes die Konstruktion des 6ten Hessenbergschen bzw. Veblenschen (Fern-)Punktes zu fünf gegebenen, die aus den zweistelligen Projektionen der dreistelligen Faktoren eines inneren Produktes gehören[22].

Trotz der synonymen Beziehung zu den projektiven Ebenen eignen sich die projektiven Multigruppen noch nicht als Kalkül für Schnittpunktsätze wie dem Satz von Desargues, Abhilfe schaffen erst die auf dem kartesischen Produkt der Grundmenge operierenden 2x2-Relationen und daraus abgeleiteten projektive Relative ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{2},{\mathcal {R}}_{2})}$ gemäß folgendem Übergang:

${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})}$ sei eine projektive Multigruppe mit einer Basis aus 3 Punkten, d. h. drei Elementen aus ${\displaystyle \mathbb {P}$ :={\mathcal {P}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}} .

Die (2x2)-Relationen werden als binäre Relationen auf der Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}:=\left\{{\binom {\mathfrak {C^{1}}}{\mathfrak {C^{2}}}}\;\vert \;{\mathfrak {C^{i}}}\in {\mathcal {P}},i=1,2\right\}}$ gemäß ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}:=\left\{{\frac {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}\;\vert \;{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {P}}\right\}}$ und ${\displaystyle {\binom {\mathfrak {C_{1}^{1}}}{\mathfrak {C_{1}^{2}}}}{\frac {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}{\binom {\mathfrak {C_{2}^{1}}}{\mathfrak {C_{2}^{2}}}}}$ über

${\displaystyle {\mathfrak {C_{1}^{i}}}{\mathfrak {A}}\ni {\mathfrak {C_{2}^{i}}};\;i=1,2}$

${\displaystyle {\mathfrak {C_{i}^{1}}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {C_{i}^{2}}};\;i=1,2}$

definiert.

Die projektive (H2x2)-Homogenitätsregel

${\displaystyle (H_{2x2})\;\bigwedge _{{\mathfrak {A_{i}}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {P}}}:{\mathfrak {A_{1}}}\in {\mathfrak {A_{2}}}{\mathfrak {A_{3}}}\;\;\Rightarrow \;\;{\frac {\mathfrak {A_{1}}}{\mathfrak {B}}}\;\subset \;{\frac {\mathfrak {A_{2}}}{\mathfrak {B}}}\;\circ \;{\frac {\mathfrak {A_{3}}}{\mathfrak {B}}}}$

entspricht dann umkehrbar eindeutig der Gültigkeit des großen Satzes von Desargues in einer projektiven Ebene ${\displaystyle ({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})\gamma }$[23] und eine Modifikation von (H2x2) dem kleinen Hessenbergschen Invarianzsatz.[24]

Handlungstheorie

Mit relationentheoretischen Gruppierungen[25] gelingt Arnold eine mathematische Beschreibung des von Jean Piaget und Hans Aebli weiterentwickelten Begriffs des Handlungsschemas,[26][27] das auf dem Hintergrund der prädikativen Ausdrucksweise für Handlungen durch Aussageformen dargestellt wird. Darauf aufsetzende binäre Handlungsfelder ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},v(\cdot ),{\mathcal {P}})}$[28] sind Tripel aus einer nichtleeren Objektmenge ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {P}}}$ , einer nichtleeren Parametermenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ und ein sprachliches Gebilde ${\displaystyle v(\cdot )}$, welches durch Einsetzen eines beliebigen Parameters ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ zu einem Verb ${\displaystyle v(p)}$ wird, durch welches geordnete Tupel von Objekten ${\displaystyle A,C\in {\mathfrak {P}}}$ in Bezug gesetzt werden. In einem binären Handlungsfeld ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},v(\cdot ),{\mathcal {P}})}$ gibt es zu jedem ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ eine zweistellige Aussageform ${\displaystyle \textstyle {\text{Man}}\;v(p)x_{0}x_{1}}$, die bei Einsetzen ${\displaystyle A_{0},A_{1}\in {\mathfrak {P}}}$ in die Leerstellen ${\displaystyle x_{0},x_{1}}$ sinnvoll wird, d. h. dass das Ergebnis einer solchen Einsetzung in ${\displaystyle (\ast )}$ prinzipiell auf Wahrheit hin überprüfbar ist. Ein Beispiel dafür wären Richtungen als Parameterelemente, ${\displaystyle v(\cdot )}$ lautete „ gelangt in Richtung ${\displaystyle (\cdot )\,}$ “, die Aussageform ${\displaystyle (*)}$ lautete „ Man gelangt in Richtung ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle x_{0}}$ nach ${\displaystyle x_{1}}$ “. Die so definierten Handlungsfelder ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},v(\cdot ),{\mathcal {P}})}$ erweisen sich dann als synonym zu binären Relativen, hier zu Handlungsrelativen ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})}$[29][30] wenn gesetzt wird: ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}:=\{{\dot {p}}\,|\,p\in {\mathcal {P}}\}}$ mit ${\displaystyle A_{0}{\dot {p}}A_{1}\;:\Leftrightarrow \,{\text{Man}}\;v(p)A_{0}A_{1}\;{\text{f.a.}}\;A_{0},A_{1}\in {\mathfrak {P}},p\in {\mathcal {P}}}$.

Systemtheorie

Die b​ei affinen Geometrien gewählte Vorgehensweise, jeweils e​iner Parallelschar e​ine Relation e​ines affinen Relativs zuzuordnen, w​ird analog b​ei der Konstruktion e​ines systembeschreibenden Relativs angewendet: d​en festen Stellwerten e​ines vorgegebenen Systems d​er ingenieurwissenschaftlichen Kontrolltheorie werden binäre Relationen a​uf dem kartesischen Produkt d​er Zeit- u​nd Zustandsmenge d​es Systems zugeordnet, d​eren Produkt i​n geeigneten Zeitintervallen z​u den Kontrollfunktionen führt.[31] Die dadurch v​on Arnold definierten Regel-Relative erlauben i​hm eine synonyme Kennzeichnung d​es abstrakten Systembegriffs v​on Eduardo Sontag,[32] d​er sich a​n der Definition e​ines dynamischen Systems seines Lehrers Rudolf Kálmán[33] orientiert.

Synonymer Zusammenhang

Man spricht von einem allgemeinen dynamischen System ${\displaystyle ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )}$ nach Sontag und Kalman, wenn vorgegeben werden:

• als „Zeitmenge“ eine Untergruppe ${\displaystyle {\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+)}$ ;
• eine nicht leere Menge ${\displaystyle X}$ , deren Elemente „Zustände“ heißen;
• eine nicht leere Menge ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, deren Elemente „Stellwerte“ heißen;
• eine Zustandsüberführungsfunktion ${\displaystyle \Phi$ :{\mathcal {D}}_{\Phi }\longrightarrow X,}

wobei ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\Phi }}$ eine Teilmenge ist von ${\displaystyle \{(\tau ,\sigma ,x,\omega )\mid \sigma ,\tau \in {\mathcal {T}};\sigma \leq \tau ;x\in X;\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}\}}$

und w​enn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Nicht-Trivialität: Zu jedem Zustand ${\displaystyle x_{0}\in X}$ gibt es mindestens ein Paar ${\displaystyle \sigma <\tau }$ in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ und ein ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}}$ derart, dass „${\displaystyle \omega }$ auf ${\displaystyle x_{0}}$ anwendbar“ ist, d. h. derart, dass ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,x_{0},\omega )\in {\mathcal {D}}_{\Phi }}$
2. Restriktion: Ist ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}}$ anwendbar auf ${\displaystyle x}$, so ist auch für jedes ${\displaystyle \mu \in [\sigma ,\tau )}$ die Restriktion ${\displaystyle \omega _{1}=\omega \mid _{[\sigma ,\mu )}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}}$ auf ${\displaystyle x}$ anwendbar und die Restriktion ${\displaystyle \omega _{2}=\omega \mid _{[\mu ,\tau )}\in U^{[\mu ,\tau )}}$ ist anwendbar auf ${\displaystyle x(\mu )=(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi }$ .
3. Halbgruppe: Sind ${\displaystyle \sigma ,\mu ,\tau }$ drei reelle Zahlen mit ${\displaystyle \sigma <\mu <\tau }$, ist ${\displaystyle \omega _{1}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\mu ,\tau )}}$ und ist ${\displaystyle x}$ ein Zustand mit ${\displaystyle (\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi =x_{1}\wedge (\tau ,\mu ,x_{1},\omega _{2})\Phi =x_{2}}$ , dann ist die Verkettung ${\displaystyle \omega =\omega _{1}{\dot {\vee }}\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}}$ auf ${\displaystyle x}$ anwendbar, und es gilt ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =x_{2}.}$
4. Identität: Für jedes ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {T}}}$ und jedes ${\displaystyle x\in X}$ ist die leere Abbildung ${\displaystyle \diamond \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\sigma )}}$ auf ${\displaystyle x}$ anwendbar, und es gilt ${\displaystyle (\sigma ,\sigma ,x,\diamond )\Phi =x.}$
5. Reduktion: Es seien ${\displaystyle u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}}}$ und es gelte ${\displaystyle \bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\Phi =(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\Phi }$ , wobei ${\displaystyle \omega _{u_{i}}(t)\equiv u_{i}\;{\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )}$ gesetzt sei, so folgt ${\displaystyle u_{1}=u_{2}}$.

Beispiel:

Ein lineares zeitinvariantes Mehrgrößensystem, d​as beschrieben w​ird durch

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

mit ${\displaystyle {\dot {x}}(t)\in \mathbb {R} ^{n},u(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$ sowie Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit entsprechend angepassten Dimensionen und Anfangswert ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$, stellt zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ eine Beziehung zwischen den Zuständen ${\displaystyle x(t)}$, deren zeitlichen Ableitungen ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ und Eingängen ${\displaystyle u(t)}$ her. Mit Hilfe der Matrixexponentialfuntkion für die Lösung der vektorwertigen Differentialgleichung wird ein Sontag'sches System wie folgt definiert:

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {T}}(+)\$ :=\ \mathbb {R} (+)\\X\ :=\ \mathbb {R} ^{n}\\{\mathcal {U}}\ :=\ \mathbb {R} ^{m}\\{\mathcal {D}}_{\Phi }\ :=\ \{(\tau ,\tau _{0},x_{0},u(\cdot ))\mid \tau _{0}\leq \tau ,\ u(\cdot )\ {\text{stückweise stetig differenzierbar}}\}\\(\tau ,\tau _{0},x_{0},u(\cdot ))\Phi \ :=\ e^{A(\tau -\tau _{0})}x_{0}\,+\,\int _{\tau _{0}}^{\tau }e^{A(\tau -\sigma )}Bu(\sigma )\,d\sigma \end{cases}}}

Man spricht von einem Regel-Relativ ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt),}$ wenn vorgegeben werden:

• als „Zeitmenge“ eine Untergruppe ${\displaystyle {\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+);}$
• eine nicht leere Menge ${\displaystyle X}$ , deren Elemente „Zustände“ heißen;
• eine nicht leere Menge ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ von binären Relationen auf der Grundmenge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X:{\mathcal {R}}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}});}$
• eine Abbildungsschar ${\displaystyle \Pi \cdot dt}$, in der zu jedem Paar ${\displaystyle \sigma ,\tau \in {\mathcal {T}}}$ mit ${\displaystyle \sigma \leq \tau }$ eine Abbildung

${\displaystyle \Pi _{\sigma }^{\tau }\cdot dt\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}\longrightarrow \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}})\\\Omega \longmapsto \Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\end{array}}\right.}$

existiert

und w​enn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. ${\displaystyle \bigwedge _{x\in X}\bigvee _{\sigma <\tau }\bigvee _{\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset }$. Auf jeden Punkt bzw. Zustand kann eine Relation angewendet werden.
2. ${\displaystyle (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{1})\wedge (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{2})\succ y_{1}=y_{2}}$. Bedeutet anschaulich, dass bei gleichen betrachteten Anfangswerten, Stellgrößenverläufen und Zeitabschnitten der erreichte Zustand eindeutig ist.
3. ${\displaystyle \Pi _{\sigma }^{\mu }\Omega _{1}dt\circ \Pi _{\mu }^{\tau }\Omega _{2}dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }(\Omega _{1}{\dot {\vee }}\Omega _{2})dt}$. Beschreibt, wie ein Stellwertverlauf sich aus zwei einzelnen Verläufen zusammensetzen kann.
4. ${\displaystyle \bigwedge _{c\in {\mathcal {R}}}\Pi _{\sigma }^{\tau }cdt=c\cap (\tau -\sigma ),}$ wobei ${\displaystyle (\tau -\sigma )}$ die gemäß ${\displaystyle (\sigma ',x)(\tau -\sigma )(\tau ',y)\;:\Leftrightarrow \;\tau '=\tau \wedge \sigma '=\sigma }$ erklärte Relation ist und ${\displaystyle \Pi _{\sigma }^{\tau }c\,dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega _{c}dt}$ zu setzen ist für ${\displaystyle \Omega _{c}(t)\equiv c\;}$ f.a. ${\displaystyle t\in [\sigma ,\tau )}$ . Sichert die Konsistenz der aus konstanten Kontrollfunktionen generierten Relationen zur Relationenschar ${\displaystyle [\Pi \cdot dt]}$.
5. ${\displaystyle \bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\sigma }\diamond dt(\sigma ,x)}$ gilt für die leere Abbildung ${\displaystyle \diamond \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\sigma )}}$. Ist für die Übertragung von dynamischen Systemen auf relative lediglich von formaler Natur.

Das o​ben genannten lineare zeitinvariante System erzeugt e​in Regel-Relativ w​ie folgt:

1. Festlegen der Grundmenge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}:=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$, (bei ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\mathbb {R} }$).
2. Definition der systembeschreibenden Kontrollrelationen ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\in {\mathcal {R}}}$ für konstante Stellwerte u ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\langle u\rangle (t_{1},x_{1})\,:\Leftrightarrow \,e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}\,+\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}e^{A(t-\tau )}Bu\,d\tau =x_{1}\,\Leftrightarrow \,\bigvee _{x(t)}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\quad \wedge \quad x(t_{0})=x_{0}\quad \wedge \quad x(t_{1})=x_{1}}$.
3. Stückweise konstante Kontrollfunktionen werden dann mit Hilfe des einfachen Relationenproduktes ${\displaystyle \circ }$ gemäß Axiom 3 angegeben, für beliebig variable Funktionen geschieht dies durch den Grenzübergang in der Abbildungsschar ${\displaystyle [\Pi \cdot dt]}$.

Für alle Regel-Relative ${\displaystyle ({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)}$ und alle Systeme ${\displaystyle ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )}$ gibt es geeignete Übergangsverfahren ${\displaystyle \Gamma }$ und ${\displaystyle \Sigma }$ für einen synonymen Zusammenhang:

${\displaystyle ({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma \Gamma =({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt).}$

${\displaystyle ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma \Sigma \cong ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi ).}$

Weitere Ergebnisse und konstruktive Erweiterbarkeit

Die für die Bewältigung regelungstechnischer Fragen bedeutenden systemtheoretischen Eigenschaften Steuerbarkeit/Erreichbarkeit, Beobachtbarkeit/Unterscheidbarkeit und Nulldynamik werden durch Ausgangs-Regel-Relative von Marc Schleuter und Markus Lemmen vollständig formuliert.[34] Auf Fuzzylogik basierte Regelungen von Kontrollsystemen werden mit Fuzzy-Zustandsrelativen für die Fuzzy-Regelung nach der Stützstellenmenge und mit Fuzyy-Zeit-Zustands-Relativen für die Fuzzy-Regelung nach der Zeitkomponente einschließlich ihrer Kopplung als Doppel-Relativ[35] beschrieben.[36] Die Methodik der Regel-Relative für kontinuierliche Systeme liefert ebenso synonyme Beschreibungen für lineare zeitdiskrete Systeme mit linearen Regel-Relativen, sind diese zeitinvariant und kommutativ, ist die zugehörige Geometrie schwach affin und genügt dem kleinen Satz von Desargues.[37] Axel Sauerland wies in einer relationenalgebraischen Betrachtung spezieller Klassen von zustandshomogenen und eingangshomogenen Bilinearsystemen nach, dass die den Lösungsraum beschreibenden Differentialgleichungsrelative affine Relative sind und sogar dem großen affinen Satz von Desargues genügen.[38] Angeordnete affine Geometrien wiederum können als ein Spezialfall von durch geeignete Zusatzaxiome eingeschränkte Regel-Relative erzeugt werden.

Literatur

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• H.-J. Arnold, W. Junkers, W. Kühnel, G. Törner, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra und ihren Anwendungen. In: Proceedings des 2. Duisburger Symposiums über Geometrische Algebra und ihre Anwendungen. Universität Duisburg, 1987.
• E. Heineken u. a.: Strategien des Denkens bei der Regelung eines einfachen dynamischen Systems unter verschiedenen Totzeitbedingungen. In: Sprache & Kognition. 11/1986, S. 136–148.
• D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 13. Auflage. Teubner, Stuttgart 1987, ISBN 3-519-00237-X. (Kopie der Ausgabe von 1903, Erstausgabe 1899, archive.org).
• R. C. Lyndon: Relation algebras and projective geometries. In: Michigan Math. J. 8, 1961, S. 21–28, doi:10.1307/mmj/1028998510
• S. E. Schmidt: Grundlegungen zu einer allgemeinen affinen Geometrie. Springer Verlag, 1995. doi:10.1007/978-3-0348-9233-9

Einzelnachweise

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3. E. Artin: Geometric Algebra. Interscience Publishers. New York 1957.
4. M. Hall: Projective Planes. In: Trans. Amer. Math. Soc. 54, 1943, S. 229–277.
5. E. Sperner: Affine Räume mit schwacher Inzidenz und zugehörige algebraische Strukturen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 204, 1960, S. 205–215. doi:10.1515/crll.1960.204.205.
6. W. Prenowitz: Projective geometries as multigroups. In: Amer. J. Math. (65) 1943, S. 235–256.
7. H.-J. Arnold: Der projektive Abschluß affiner Geometrien mit Hilfe relationentheoretischer Methoden. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Universität Berlin, Hamburg (40) 1974, S. 197–214. doi:10.1007/BF02993598.
8. H.-J. Arnold: Richtungsalgebren. In: Contributions to Geometry. 1979, S. 379–382. doi:10.1007/978-3-0348-5765-9_22.
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11. H. Schwarz: Nichtlineare Regelungssysteme – Systemtheoretische Grundlagen. Oldenburg, München 1991.
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29. H.-J. Arnold: Geometric relation algebra and Piaget's theorem of patterns (schemes). (= Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik / Gerhard-Mercator-Universität Gesamthochschule Duisburg. 423) 1998.
30. H.-J. Arnold: Zur Idee des Mathematisierens in PIAGET’s Theorie der kognitiven Prozesse. (= Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik / Gerhard-Mercator-Universität Gesamthochschule Duisburg. 449). 1999.
31. H.-J. Arnold: Zur mathematischen Beschreibung zielgerichteter Handlungen des Menschen an technischen Systemen. (= Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik / Gerhard-Mercator-Universität Gesamthochschule Duisburg. 173). 1990.
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34. M. Lemmen, M. Schleuter: Relational Control Structures. In: Results in Mathematics. Birkhäuser, Basel (29) 1996, S. 100–110. doi:10.1007/BF03322209.
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36. D. Wetscheck: Fuzzyfizierung von Kontrollsystemen mittels relationenalgebraischer und graphentheoretischer Methoden. Dissertation 1999. Universität–Gesamthochschule Duisburg.
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