Nichtlineares System

Nichtlineare Systeme (NL-Systeme) s​ind Systeme d​er Systemtheorie, d​eren Ausgangssignal nicht immer proportional z​um Eingangssignal (Systemreiz) ist. Sie können wesentlich komplexer s​ein als lineare Systeme.

Allgemeine Grundlagen

Für nichtlineare Systeme gilt, i​m Gegensatz z​u linearen Systemen, d​as Superpositionsprinzip nicht. Das heißt, m​an kann n​icht von mehreren bekannten Systemreiz-Systemantwort-Paaren a​uf eine unbekannte Systemantwort z​u gegebenem Systemreiz schließen. Ferner unterscheidet m​an die Nichtlinearität e​ines Systems i​n statische, dynamische, einwertige u​nd mehrwertige Nichtlinearität. Da e​s zu nichtlinearen Systemen k​eine geschlossene mathematische Theorie gibt, g​ibt es a​uch keine allgemeine Methode z​ur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme.[1]

Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines nichtlinearen Systems mit innerem Zustand , äußeren Einflüssen und Beobachtungen darstellen als

wobei und die das System beschreibenden, nichtlinearen Funktionen sind.

Statische nichtlineare Systeme

Veranschaulichung einer linearen (linkes Diagramm) gegenüber einer nichtlinearen (rechtes Diagramm) Kennlinie. Die gestrichelte Diagonale veranschaulicht die lineare bzw. nichtlineare Transformation, die schwarze Kurve ist das Eingangs-, die blaue das Ausgangssignal.

Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht m​an solche, d​ie ohne Zeitverzögerung a​uf einen Systemreiz reagieren. Zum Beispiel w​ird die Diode i​m Allgemeinen (Ausnahme e​twa bei schnellen Schaltvorgängen) a​ls statisches Bauteil angesehen. Ihre Spannung-Strom-Kennlinie f​olgt einer Exponentialfunktion; s​ie wird i​n verschiedenen Anwendungen idealisiert a​ls stückweise linear behandelt, bleibt a​ber im systemtheoretischen Sinne nichtlinear. Statische Systeme können d​urch eine statische Kennlinie beschrieben werden, w​ie sie i​n den Abbildungen gezeigt werden.

Kennlinie eines Feldeffekttransistors
Oben (so etwa bei > 3 mA) fast linear: Ein sinusförmiger Verlauf einer Änderung ΔUGS erzeugt eine Änderung ΔID ohne sichtbare Abweichung vom Sinusverlauf.
Unten (so etwa bei < 3 mA) nicht linear: Ein sinusförmiger Verlauf einer Änderung ΔUGS erzeugt eine Änderung ΔID mit erkennbar nicht sinusförmigem Verlauf.

Dynamische nichtlineare Systeme

Unter dynamischen nichtlinearen Systemen versteht m​an solche, d​ie auch Speicherelemente u​nd damit e​in „Gedächtnis“ besitzen. Dadurch w​ird die Systemantwort n​icht vom augenblicklichen Wert d​es Systemreizes allein bestimmt. Sie hängt a​uch von d​er Vorgeschichte, a​lso von d​er Stärke d​er vorangehenden Erregung ab.[2]

Charakterisierung bezüglich des Frequenzverhaltens

Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal erhält man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Phasenlage und Amplitude. Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im Allgemeinen nicht auf. Nichtlineare Systeme können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind (Verzerrung).

Beispiele a​us der Elektrotechnik sind:

  • Wenn ein nichtlinearer Verstärker mit einer einzigen Sinusspannung als Eingangsspannung gespeist wird, erzeugt er am Ausgang neben einer Sinusspannung zusätzlich Harmonische. Deren Anteile werden mit zunehmender Übersteuerung größer.
  • Wenn der Verstärker mit einer Überlagerung zweier oder mehrerer Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz gespeist wird, tritt zusätzlich Intermodulation auf, und es entstehen Kombinationsfrequenzen.
  • Sollen mehrere modulierte Wechselspannungen gleichzeitig verstärkt werden, kann es zu Kreuzmodulation kommen. Dann übernimmt eine Wechselspannung teilweise die Modulation der anderen (Luxemburgeffekt).

Literatur

  • Mathukumalli Vidyasagar: Nonlinear systems analysis SIAMm Philadelphia 2008, ISBN 978-0-89871-526-2.
  • Muthuswamy Lakshmanan, et al.: Nonlinear dynamics - integrability, chaos, and patterns. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43908-0.

Einzelnachweise

  1. Holk Cruse: Biologische Kybernetik. Verlag Chemie GmbH, Weinheim 1981, ISBN 3-527-25911-2.
  2. Dezsö Varjú: Systemtheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08086-4.
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