Affine Geometrie

Die affine Geometrie i​st eine Verallgemeinerung d​er euklidischen Geometrie, i​n der z​war das euklidische Parallelenaxiom gilt, a​ber Abstand u​nd Winkel k​eine Bedeutung haben. Der Begriff „affine Geometrie“ w​ird für d​as mathematische Teilgebiet und für d​ie dadurch beschriebenen „Räume“ a​us Punkten u​nd Geraden (und daraus abgeleitet, Ebenen etc.) verwendet. Eine affine Geometrie a​ls Raum w​ird auch a​ls affiner Raum bezeichnet. Dabei i​st zu beachten, d​ass jeder affine Raum, w​ie ihn d​ie Lineare Algebra charakterisiert, a​uch den Anforderungen e​iner affinen Geometrie genügt, a​ber nicht umgekehrt. Die affine Geometrie verallgemeinert d​en bekannteren Begriff a​us der Linearen Algebra. In diesem Artikel w​ird der allgemeinere Begriff, m​it dem s​ich die synthetische Geometrie befasst, d​aher durchgehend a​ls „affine Geometrie“ bezeichnet.

Im Sinne d​es Erlanger Programms v​on Felix Klein k​ann die affine Geometrie a​uch als Inbegriff d​er unter bijektiven affinen Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt werden.

Definition

Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn eine Menge von Punkten ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$, eine Menge von Geraden ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, eine Inzidenzrelation ${\displaystyle \mathrm {I} }$ zwischen ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ sowie eine Parallelitätsrelation ${\displaystyle \|}$ auf ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ gegeben ist und folgende Axiome erfüllt werden:[1]

1. Durch zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle A,\,B}$ geht genau eine Gerade ${\displaystyle g}$ (d. h. ${\displaystyle AIg}$ und ${\displaystyle BIg}$), die Verbindungsgerade ${\displaystyle g=AB}$ (auch ${\displaystyle g=A\lor B}$ geschrieben).
2. Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
3. Die Parallelitätsrelation ${\displaystyle \parallel }$ ist eine Äquivalenzrelation
4. Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
5. Wenn ein Dreieck (drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte) ${\displaystyle ABC}$ gegeben ist und zwei Punkte ${\displaystyle A'}$ und ${\displaystyle B'}$ derart, dass die Gerade ${\displaystyle AB}$ parallel zu der Geraden ${\displaystyle A'B'}$ liegt, so gibt es einen Punkt ${\displaystyle C'}$ so, dass auch ${\displaystyle AC}$ parallel zu ${\displaystyle A'C'}$ und ${\displaystyle BC}$ parallel zu ${\displaystyle B'C'}$ liegen.

Schreib- und Sprechweisen, Grundeigenschaften

• Punkte werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. ${\displaystyle A,B,C,...\in {\mathfrak {P}}}$
• Geraden werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. ${\displaystyle a,b,c,...\in {\mathfrak {G}}}$
• Gilt für ${\displaystyle A\in {\mathfrak {P}}}$ und ${\displaystyle g\in {\mathfrak {G}}\ A\mathrm {I} g}$ so sagt man, A inzidiert mit g, oder A liegt auf g oder g geht durch A.
• Gilt für ${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {G}}\ g\|h}$ so sagt man, g und h sind parallel.
• Die zu einem Paar ${\displaystyle (A,g)\in {\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {G}}}$ nach dem vierten Axiom eindeutig gegebene Parallele zu ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle A}$ wird gelegentlich als ${\displaystyle (A;\parallel g)}$ notiert.

Inzidenz mengentheoretisch

• Die Menge der Punkte, die mit einer bestimmten Gerade ${\displaystyle g\in {\mathfrak {G}}}$ inzidieren, heißt Trägermenge der Geraden, diese Menge wird häufig als ${\displaystyle g^{\circ }}$ notiert. Formalisiert: ${\displaystyle g^{\circ }=\{A\in {\mathfrak {P}}:AIg\}}$
• Aus den ersten beiden Axiomen folgt, dass zwei Geraden genau dann übereinstimmen, wenn sie mit denselben Punkten inzidieren, das heißt, wenn ihre Trägermengen gleich sind. Aus diesem Grund wird in der neueren Literatur oft gleich davon ausgegangen, dass jede Gerade die Menge der mit ihr inzidierenden Punkte ist,[2] also ${\displaystyle g=g^{\circ }}$. Dann gilt ${\displaystyle AIg}$ genau dann, wenn ${\displaystyle A\in g}$ gilt und die Inzidenzrelation kann vollständig durch die mengentheoretische Enthalten-Relation ersetzt werden.

Ebenen

• Aus dem dritten Axiom folgt, dass jede Gerade zu sich selbst parallel ist, aus dem vierten folgt dann, dass Geraden, die parallel sind und einen Punkt gemeinsam haben, identisch sind. Mit anderen Worten: Sind zwei Geraden verschieden und parallel, dann sind sie disjunkt.
• Disjunkte Geraden müssen im Allgemeinen nicht parallel sein.
• Das fünfte Axiom kann man mit Hilfe des vierten gleichwertig auch so formulieren:

Wenn ein Dreieck ${\displaystyle ABC}$ gegeben ist und zwei Punkte ${\displaystyle A'}$ und ${\displaystyle B'}$ derart, dass die Gerade ${\displaystyle AB}$ parallel zu der Geraden ${\displaystyle A'B'}$ liegt, dann schneiden sich ${\displaystyle (A';\parallel AC)}$ und ${\displaystyle (B';\parallel BC)}$.

• Insbesondere ist der Punkt ${\displaystyle C'}$ aus dem fünften Axiom eindeutig bestimmt.
• Wenn es nun ein Dreieck gibt, also drei Punkte die nicht auf der gleichen Geraden liegen, dann kann man mit dem fünften Axiom einen sinnvollen Begriff einer Ebene ${\displaystyle \varepsilon (ABC)}$ definieren, die durch das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ bestimmt ist. Eine mögliche Definition lautet so: Ein Punkt ${\displaystyle D}$ liegt genau dann in ${\displaystyle \varepsilon (ABC)}$, wenn ${\displaystyle (D;\parallel BC)}$ die Geraden ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle AC}$ schneidet.

• Aus dem fünften Axiom kann man nun (mit einigem technischen Aufwand und mehreren Fallunterscheidungen) nachweisen, dass für Geraden, die in ${\displaystyle \varepsilon (ABC)}$ liegen, gilt: Sind zwei Geraden der Ebene disjunkt, dann sind sie parallel. Damit erfüllen diese „Ebenen“ alle Axiome einer affinen Ebene.

Zusammenfassend gilt:

• Eine affine Geometrie, die zusätzlich das Reichhaltigkeitsaxiom

„Es gibt drei verschiedene Punkte aus ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ (ein „Dreieck“), die nicht alle auf einer Geraden aus ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ liegen.“

erfüllt, enthält eine Ebene ${\displaystyle \varepsilon }$, so dass die Punkte auf dieser Ebene (als Punktmenge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{\varepsilon }={\mathfrak {P}}\cap \varepsilon }$) mit ihren Verbindungsgeraden (${\displaystyle {\mathfrak {G}}_{\varepsilon }=\{AB:(A,B)\in {\mathfrak {P}}_{\varepsilon }\times {\mathfrak {P}}_{\varepsilon }\;\land A\neq B\}}$ als Geradenmenge) mit der eingeschränkten Parallelität (${\displaystyle g\parallel _{\varepsilon }h\Leftrightarrow g\parallel h\land g,h\in {\mathfrak {G}}_{\varepsilon }}$) die Axiome einer affinen Ebene erfüllen.

• Genau dann, wenn außerdem ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{\varepsilon }={\mathfrak {P}}}$ gilt, wenn es also keine vier Punkte gibt, die nicht auf einer gemeinsamen Ebene liegen, ist die affine Geometrie eine affine Ebene.

Beispiele

• Durch Vektorräume über einem Körper erzeugte affine Räume:
  • Der euklidische Anschauungsraum kann durch einen dreidimensionalen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ erzeugt werden.
  • Die euklidische Ebene kann durch einen zweidimensionalen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ erzeugt werden.
  • Triviale Beispiele sind:
    • Kein Punkt, keine Geraden (${\displaystyle -1}$-dimensionale affine Geometrie)
    • ein einzelner Punkt und keine Geraden (nulldimensionale affine Geometrie),
    • eine Gerade, auf der alle Punkte liegen (eindimensionale affine Geometrie),

Eine höchstens nulldimensionale Geometrie kann als Vektorraum über jedem beliebigen Körper angesehen werden, ist also auch ein affiner Raum der gleichen Dimension. Aus jeder Menge M, die wenigstens zwei Elemente enthält, kann man eine eindimensionale affine Geometrie machen: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=M;{\mathfrak {G}}=\{M\},\parallel =\{(M,M)\}}$. Als eine affine Gerade über einem Körper kann diese genau dann angesehen werden, wenn der Körper sich bijektiv auf ${\displaystyle M}$ abbilden lässt.

• Die kleinste affine Geometrie, die eine Ebene enthält, ist die affine Ebene, die durch den zweidimensionalen Vektorraum über dem endlichen Körper ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ erzeugt werden kann. Sie besteht aus den Punkten ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{A,B,C,D\}}$ und den Geraden ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}}$, die Verbindungsgeraden bestehen hier genau aus den beiden angegebenen Punkten. Ferner gilt ${\displaystyle AB\parallel CD,AC\parallel BD,AD\parallel BC}$. → Siehe dazu auch die Abbildungen in Affine Ebene.

Desarguessche und nichtdesarguessche Geometrien

Alle d​urch Vektorräume über e​inem Körper u​nd sogar a​lle auf d​ie gleiche Weise d​urch Linksvektorräume über e​inem Schiefkörper erzeugten affinen Geometrien erfüllen d​en großen affinen Satz v​on Desargues, s​ie sind affine Räume i​m Sinne d​er linearen Algebra. Für mindestens dreidimensionale affine Geometrien g​ilt auch d​ie Umkehrung: Sie lassen s​ich immer d​urch Linksvektorräume über e​inem Schiefkörper beschreiben. Es g​ibt aber a​uch ebene affine ("nichtdesarguessche") Geometrien (→ s​iehe Affine Ebene), d​ie den desarguesschen Satz nicht erfüllen. Sie können mithin n​icht durch e​inen Vektorraum erzeugt werden. Stattdessen k​ann man i​hnen als Koordinatenbereich s​tets einen Ternärkörper zuordnen.

Einbettungsproblem und Koordinatenbereiche

Ein affiner Raum ${\displaystyle A}$ (im Sinne der linearen Algebra) ist immer zusammen mit seinem Koordinatenbereich, einem (Schief-)Körper ${\displaystyle K}$ und einem ${\displaystyle K}$-(Links-)Vektorraum ${\displaystyle V}$ definiert (mit der Ausnahme des leeren affinen Raumes, der aber doch als Teilraum eines bestimmten Raumes zu einem Schiefkörper angesehen wird). In der linearen Algebra beschränkt man sich in der Regel auf Vektorräume über kommutativen Körpern, aber die wesentlichen geometrischen Tatsachen (außer dem Satz von Pappus) gelten auch allgemeiner für Linksvektorräume über Schiefkörpern.

Dadurch g​ilt für affine Räume:[1]

1. Der Raum hat eine bestimmte Dimension ${\displaystyle n=\mathrm {dim} (A)}$, das ist die Dimension des Vektorraumes. Zusatzdefinition: Die leere Menge hat die Dimension ${\displaystyle -1}$.
2. Durch die algebraische Struktur des Vektorraums ist bei jeder Dimension klar, was die strukturerhaltenden Selbstabbildungen sind: Sie lassen sich als Affinitäten im Wesentlichen durch die strukturerhaltenden Abbildungen der Vektorräume beschreiben. Berücksichtigt man allein die Inzidenzstruktur und nicht die Vektorraumstruktur, dann kommt man zur größeren Gruppe der (ebenentreuen[3]) Kollineationen, die aber für mindestens zweidimensionale affine Räume auch durch Affinitäten und Körperautomorphismen darstellbar ist.
3. Zu jeder kleineren Dimension ${\displaystyle m}$ als ${\displaystyle n\;(-1<m<n)}$ gibt es affine Teilräume ${\displaystyle B\subset A}$, denen sich ein ${\displaystyle m}$-dimensionaler ${\displaystyle K}$-Unterraum zuordnen lässt.
4. Zu jeder größeren Dimension ${\displaystyle M>n}$ lässt sich ${\displaystyle A}$ als Teilraum eines affinen Raumes der Dimension ${\displaystyle M}$ auffassen, dem ein ${\displaystyle M}$-dimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum zugeordnet ist (Einbettung).

Für affine Geometrien g​ilt nun:[4]

• Wenn die Geometrie eine Ebene enthält, aber nicht mit ihr zusammenfällt, dann ist sie desarguesch und durch ihre Inzidenzstruktur und ihre Parallelität ist ein eindeutiger Schiefkörper ${\displaystyle K}$ und eine eindeutige Dimension (mindestens 3) über ${\displaystyle K}$ für den „Koordinatenvektorraum“ gegeben.

• Wenn die Geometrie eine Ebene ist, die den Satz von Desargues erfüllt, gilt das Gleiche mit der Dimension 2.[4]

Genau i​n diesen Fällen werden d​ie Begriffe affine Geometrie u​nd affiner Raum gleichbedeutend. Man übernimmt i​n den Punkten 1. b​is 4. einfach d​ie Begriffe d​er linearen Algebra.

• Eine nichtdesarguesche Ebene bestimmt ebenfalls eine eindeutige Koordinatenstruktur, einen Ternärkörper, der allerdings im Allgemeinen viel schwächere Eigenschaften als ein Schiefkörper hat.

1. Die Dimension der Geometrie ist vereinbarungsgemäß 2, denn die Geometrie hat mehr als eine Gerade (daher mehr als eindimensional) und disjunkte Geraden sind immer parallel (daher weniger als dreidimensional).
2. Die strukturerhaltenden Abbildungen sind geradentreue (und damit im ebenen Fall trivialerweise auch parallelentreue) bijektive Selbstabbildungen der Ebene, die affinen Kollineationen.
3. Jede Gerade der Ebene ist ein Teilraum und natürlich eine eindimensionale affine Geometrie, die einpunktigen Teilmengen sind 0-dimensionale Teilräume.
4. Eine Einbettung in eine Geometrie mit höherer Dimension ist unmöglich.[5]

• Für null- und eindimensionale Geometrien, die nicht als Teilräume von mindestens zweidimensionalen Geometrien auftreten, ist offenbar eine Strukturuntersuchung uninteressant: Durch ihre Inzidenzstruktur ist über die reine Punktmenge hinaus nichts gegeben.

Eine Verallgemeinerung d​es Begriffes affine Geometrie i​st der Begriff schwach affiner Raum. Jede affine Geometrie i​st auch e​in schwach affiner Raum. Einige nichtdesarguessche affine Ebenen s​ind echte Teilräume v​on schwach affinen Räumen, obwohl solche Ebenen niemals i​n umfassendere affine Geometrien eingebettet werden können.

Literatur

• Günter Ewald: Geometrie. Eine Einführung für Studenten und Lehrer (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung; 14). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-40536-7 ([Inhaltsverzeichnis: DNB 750005521/04 Online] [abgerufen am 25. Dezember 2011] amerikanisches Englisch: Geometry, an introduction. Übersetzt von Anneliese Oberschelp).
• Rudolf Fritzsch: Synthetische Einbettung Desarguesscher Ebenen in Räume. Mathematisch-Physikalische Semesterberichte, Nr. 21. 1974, S. 237–249 (Online [PDF; 953 kB; abgerufen am 30. Juli 2021]).
• Jeremy Gray: Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century. 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-0-85729-059-5.
• Günter Pickert: Projektive Ebenen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 80). 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-07280-2.
• Daniel Richard Hughes, Fred. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973, ISBN 0-387-90044-6.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Ewald (1974)
2. Gray (2007)
3. Man kann zeigen, dass für einen Raum mit mehr als 2 Punkten auf jeder Geraden jede geradentreue, bijektive Selbstabbildung, also jede Kollineation, zugleich ebenentreu ist. Für Räume mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden muss die Ebenentreue zusätzlich gefordert werden. Dieser Sonderfall ist im Artikel „Kollineation“ ausführlich dargestellt.
4. Pickert (1975)
5. Fritzsch (1974)