Tamaschke-Axiom

In d​er Affinen Geometrie, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik, i​st das Tamaschke-Axiom (oder a​uch Dreiecksaxiom) e​ine derjenigen Aussagen, m​it deren Hilfe s​ich die d​ort auftretenden Inzidenzgeometrien axiomatisch festlegen lassen. Das Axiom i​st nach d​em Tübinger Mathematiker Olaf Tamaschke benannt, d​er als erster s​eine Bedeutung für d​ie Geometrie erkannte.[1]

Formulierung des Axioms

Das Tamaschke-Axiom fordert für Inzidenzgeometrien ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, die dem Verbindungsaxiom und dem Parallelenaxiom genügen, die folgende zusätzliche Eigenschaft:[2]

Sind in ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ fünf Raumpunkte ${\displaystyle A,B,C,A^{*},B^{*}\in {\mathcal {X}}}$ gegeben, wobei ${\displaystyle A,B,C}$ nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen sollen, und sind hier die Geraden ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle A^{*}B^{*}}$ parallel, so treffen sich die Parallele zu ${\displaystyle AC}$ durch ${\displaystyle A^{*}}$ und die Parallele zu ${\displaystyle BC}$ durch ${\displaystyle B^{*}}$ in einem gemeinsamen Schnittpunkt ${\displaystyle C^{*}}$.

Axiomatik der affinen Räume

Gemäß d​er Darstellung v​on Albrecht Beutelspacher s​ind die affinen Räume g​enau diejenigen Inzidenzgeometrien, i​n denen sowohl

• das Verbindungsaxiom

als auch

• das Parallelenaxiom

als auch

• das Tamaschke-Axiom

erfüllt sind.[2]

Anmerkungen und Erläuterungen

• Die obige Bedingung, dass ${\displaystyle A,B,C}$ nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen sollen, bedeutet – anschaulich!– nichts weiter, als dass die Punkte ${\displaystyle A,B,C}$ ein Dreieck bilden. Dies erklärt, warum das Tamaschke-Axiom auch als Dreiecksaxiom bezeichnet wird.
• Geht man den in der Analytischen Geometrie üblichen Weg, die affinen Räume ausgehend von den zugehörigen Vektorräumen der Verbindungsvektoren zu definieren,[3] so ergibt sich das Tamaschke-Axiom in diesem Rahmen als Lehrsatz.[4]
• Für eine axiomatische Begründung der affinen Raumgeometrie im engeren Sinne reichen die obigen Axiome nicht aus. Hier muss man – nicht zuletzt wegen der Inzidenzen zwischen Ebenen und Geraden sowie Ebenen und Raumpunkten − eine erweiterte Axiomatik schaffen.[5]

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 8., aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-02412-3, doi:10.1007/978-3-658-02413-0.
• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Eine Einführung für Studienanfänger (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 7., durchgesehene Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden 2001, ISBN 978-3-322-88921-8, doi:10.1007/978-3-322-88921-8.
• H. Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik. 3., überarbeitete Auflage. Hanser Verlag, München (u. a.) 1976, ISBN 3-446-12160-9 (MR0460009).
• Olaf Tamaschke: Projektive Geometrie II (= BI-Hochschulskripten. 838/a/b). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1972 (MR0338893).

Einzelnachweise

1. Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 2014, S. 123ff
2. Beutelspacher, op. cit., S. 123
3. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 2001, S. 1ff
4. Beutelspacher, op. cit., S. 126
5. Hanfried Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik. 1976, S. 148ff