Beobachter (Regelungstechnik)

Ein Beobachter i​st in d​er Regelungstechnik e​in System, d​as aus bekannten Eingangsgrößen (z. B. Stellgrößen o​der messbaren Störgrößen) u​nd Ausgangsgrößen (Messgrößen) e​ines beobachteten Referenzsystems n​icht messbare Größen (Zustände) rekonstruiert. Dazu bildet e​r das beobachtete Referenzsystem a​ls Modell n​ach und führt m​it einem Regler d​ie messbaren, u​nd deshalb m​it dem Referenzsystem vergleichbaren, Zustandsgrößen nach. So s​oll vermieden werden, d​ass ein Modell, insbesondere b​ei Referenzsystemen m​it integrierendem Verhalten, e​inen über d​ie Zeit wachsenden Fehler generiert. Treffender wäre e​s von e​inem referenzgeregelten Synthetisierer (englisch reference controlled synthesizer) z​u sprechen.

Beobachter (Systemmodell) und "Reales System" (beobachtetes reales Referenzsystem)

Ein Beobachter k​ann genau d​ann entworfen werden, w​enn das Referenzsystem über d​ie vorhandenen Messgrößen beobachtbar ist. Die Beobachtbarkeit i​st jedoch i​m Allgemeinen k​eine notwendige Bedingung für d​en Beobachterentwurf. Stattdessen i​st es ausreichend, w​enn das System detektierbar ist.

Eingesetzt werden Beobachter z. B.

• bei Zustandsreglern zur Rekonstruktion nicht messbarer Zustandsgrößen
• bei zeitdiskreten Regelungen, bei denen die Messgröße nicht in jedem Zyklus aktualisiert werden kann,
• in der Messtechnik als Ersatz für technisch oder wirtschaftlich nicht mögliche Messungen.

Eine durchgängige Theorie w​urde ab 1964 v​on dem amerikanischen Regelungstechniker David Luenberger für lineare Systemmodelle u​nd eine konstante proportionale Rückführung d​es Fehlers entwickelt. Das Verfahren k​ann prinzipiell a​uf nichtlineare Modelle erweitert werden.[FOE:NL2 1]

Luenberger-Beobachter

Blockdiagramm Luenberger-Beobachter:Fehlerbehebung: Der Eingang von L muss als ${\displaystyle y\mathbf {-} {\hat {y}}}$ gebildet werden.

Die Idee von Luenberger 1964 beruht auf einer Parallelschaltung des Beobachters zum Regelstreckenmodell.[LUN:RT2 1] Dabei wird die Differenz zwischen dem Messwert der Strecke ${\displaystyle \mathbf {y} }$ und dem "Messwert" des Beobachters ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$, d. h. ${\displaystyle \mathbf {y} (t)-{\hat {\mathbf {y} }}(t)}$ auf das Modell zurückgeführt. Damit kann der Beobachter auf Störungen beziehungsweise eigene Ungenauigkeiten reagieren. Die grundsätzliche Gleichung des Beobachters ist:

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=\mathbf {A} {\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {u} _{B}(t)}$ mit ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(0)={\hat {\mathbf {x} }}_{0}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(t)=\mathbf {C} {\hat {\mathbf {x} }}(t)}$

dabei bestimmt sich

${\displaystyle \mathbf {u} _{B}(t)=\mathbf {L} (\mathbf {y} (t)-{\hat {\mathbf {y} }}(t))=\mathbf {L} \mathbf {C} (\mathbf {x} (t)-{\hat {\mathbf {x} }}(t))}$

somit ergibt s​ich für d​en Beobachter

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=(\mathbf {A} -\mathbf {L} \mathbf {C} ){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {L} \mathbf {y} (t)}$

Für den Beobachtungsfehler ${\displaystyle \mathbf {e} (t)=\mathbf {x} (t)-{\hat {\mathbf {x} }}(t)}$ eines Luenberger-Beobachters gilt daher ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }||\mathbf {e} (t)||=\mathbf {0} }$, wenn alle Eigenwerte der Matrix ${\displaystyle (\mathbf {A} \ -\ \mathbf {L} \mathbf {C} )}$ negative Realteile besitzen.

Die Bestimmung d​er Rückführung erfolgt analog z​um Reglerentwurf d​urch Polvorgabe, i​ndem folgende Ersetzungen vorgenommen werden:[FOE:RT 1]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ statt ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{T}}$ statt ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {L} ^{T}}$ statt ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Das Beispielsystem hat die Eigenwerte ${\displaystyle e_{1}=-2}$ und ${\displaystyle e_{2}=-4}$. Damit der Beobachter dem System folgen kann, müssen dessen Eigenwerte links von denen des Systems liegen. Diese Forderung ist für ${\displaystyle \lambda _{1,2}=-8}$ erfüllt. Die charakteristische Gleichung lautet in diesem Fall

${\displaystyle P(s)=64+16s+s^{2}\,}$

und damit ${\displaystyle a_{B0}=64}$ und ${\displaystyle a_{B1}=16}$. Die Rückführmatrix ist damit

${\displaystyle \mathbf {L} ^{T}={\begin{pmatrix}56&10\end{pmatrix}}}$.

Für d​en vollständigen Beobachter lautet d​ie Differenzialgleichung

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)={\begin{pmatrix}0&-64\\1&-16\end{pmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}}u(t)+{\begin{pmatrix}56\\10\end{pmatrix}}y(t)}$.

Strukturelle Beobachtbarkeit

Systeme können a​us zwei Gründen nicht beobachtbar sein:

• Eine konkrete Parameterkombination führt zur Nichtbeobachtbarkeit.
• Die Struktur des Systems führt dazu, dass das System bei beliebiger Besetzung der Nichtnullelemente der Systemmatrix (die in der Praxis von physikalischen Parametern abhängen) nicht beobachtbar bzw. bei keiner Parameterkombination beobachtbar ist. Dies ist der Fall, wenn notwendige Signalkoppelungen zwischen Zustands- und Messgrößen fehlen.

Um nachzuweisen, d​ass ein System strukturell n​icht beobachtbar ist, müssen graphentheoretische Verfahren eingesetzt werden.

Dagegen i​st die strukturelle Beobachtbarkeit leicht nachzuweisen: w​enn nämlich gezeigt werden kann, d​ass eine bestimmte Parameterkombination (z. B. a​lle Nichtnullelemente == 1) e​in vollständig beobachtbares System beschreibt.[LUN:RT2 2]

Vollständige Beobachtbarkeit

Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung

Die Zustandsraumdarstellung e​ines linearen Systems lautet

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {Ax} +\mathbf {Bu} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Cx} +\mathbf {Du} }$.

Das System ist beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion ${\displaystyle \mathbf {u(t)} }$ und bekannten Matrizen ${\displaystyle \mathbf {A} }$ und ${\displaystyle \mathbf {C} }$ aus dem Verlauf des Ausgangsvektors ${\displaystyle \mathbf {y(t)} }$ über ein endliches Zeitintervall ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$ der Anfangszustand ${\displaystyle \mathbf {x(t_{0})} }$ eindeutig bestimmt werden kann.

Im Folgenden wird als Beispiel ein System mit einem Eingang ${\displaystyle u(t)\;}$ und einem Ausgang ${\displaystyle y(t)\;}$ (SISO: Single Input, Single Output) verwendet.

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ={\begin{pmatrix}-2&0\\4&-4\end{pmatrix}}\mathbf {x} +{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}u}$

${\displaystyle y={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\mathbf {x} }$

Es beschreibt die Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit den Zeitkonstanten ${\displaystyle T_{1}=0{,}5}$ und ${\displaystyle T_{2}=0{,}25}$.

Nachweis

Strukturelle Beobachtbarkeit i​st eine notwendige Bedingung für d​ie vollständige Beobachtbarkeit. Jedoch werden zumeist n​ur die folgenden Kriterien genutzt, u​m eine vollständige Beobachtbarkeit nachzuweisen.

Das Kriterium n​ach Kalman i​st relativ einfach z​u bestimmen, jedoch k​ann man d​abei die Beobachtbarkeit n​icht auf einzelne Eigenvorgänge beziehungsweise Eigenwerte beziehen. Dies k​ann mit Hilfe d​es Gilbert- u​nd des Hautus-Kriteriums geschehen.

Kriterium von Kalman

Das System (A,C) ist genau dann nach Kalman vollständig beobachtbar,[LUN:RT2 3] wenn die Beobachtbarkeitsmatrix ${\displaystyle S_{B}}$ den Rang ${\displaystyle n}$ hat bzw. deren Determinante im Falle nur einer Messgröße ungleich 0 ist:

${\displaystyle \mathrm {Rang} \ S_{B}{}={}n}$ mit

${\displaystyle S_{B}={\begin{pmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\...\\CA^{n-1}\end{pmatrix}}}$

Für d​as Beispielsystem gilt

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-2&0\\4&-4\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}}$

mit d​er Beobachtbarkeitsmatrix

${\displaystyle \mathbf {S_{B}} ={\begin{pmatrix}0&1\\4&-4\end{pmatrix}}}$.

Es gilt ${\displaystyle \mathrm {det} \mathbf {(S_{B})} =-4}$ und damit ist der Rang gleich 2. Das System ist vollständig beobachtbar.

Kriterium von Gilbert

Wenn d​as Modell i​n kanonischer Normalform (Jordansche Normalform)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {\tilde {x}} }{dt}}&=\mathrm {diag} (\lambda _{i})\mathbf {\tilde {x}} +\mathbf {\tilde {B}} u,\ \mathbf {\tilde {x}} (0)=V^{-1}\mathbf {x} _{0},\\y&=\mathbf {\tilde {C}} \mathbf {\tilde {x}} \\\end{aligned}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\tilde {B}} &=\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {B} ,\\\mathbf {\tilde {C}} &=\mathbf {CV} \end{aligned}}}$

und ${\displaystyle \mathbf {V} \!\,}$ als Matrix der Eigenvektoren vorliegt, gilt das Kriterium von Gilbert:[LUN:RT2 4]

Ein System ${\displaystyle (\mathrm {diag} (\lambda _{i}),\mathbf {\tilde {C}} )}$, dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Matrix ${\displaystyle \mathbf {\tilde {C}} }$ keine Nullspalte besitzt und wenn die p Spalten ${\displaystyle \mathbf {\tilde {c}} _{i}}$, der Matrix ${\displaystyle \mathbf {\tilde {C}} }$, die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.

Die kanonische Normalform d​es Beispielsystems lautet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {\tilde {x}} }{dt}}&={\begin{pmatrix}-2&0\\0&-4\end{pmatrix}}\mathbf {\tilde {x}} +{\begin{pmatrix}4{,}472\\-4\end{pmatrix}}u,\\y&={\begin{pmatrix}0{,}894&1\end{pmatrix}}\mathbf {\tilde {x}} .\end{aligned}}}$

Die Matrix ${\displaystyle \mathbf {\tilde {C}} ={\begin{pmatrix}0{,}894&1\end{pmatrix}}}$ besitzt nur Spalten (hier Elemente) ungleich 0. Der Test auf lineare Abhängigkeit entfällt hier, da das System einfache Eigenwerte hat.

Das System i​st vollständig beobachtbar.

Kriterium von Hautus

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar nach Hautus[LUN:RT2 4], wenn die Bedingung:

${\displaystyle \mathrm {Rang} {\begin{pmatrix}\lambda _{i}I-\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{pmatrix}}=n}$

für alle Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{i}(i=1,2,\ldots ,n)}$ der Matrix A erfüllt ist.

Die Systemmatrix des Beispiels hat die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1}=-2}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}=-4}$. Für beide Eigenwerte ist die Bedingung

${\displaystyle \mathrm {Rang} {\begin{pmatrix}\lambda _{i}+2&0\\-4&\lambda _{i}+4\\0&1\end{pmatrix}}=2}$

erfüllt. Das System i​st also vollständig beobachtbar.

Beobachtbarkeit von Abtastsystemen

Die oben genannten Beziehungen gelten auch für Abtastsysteme, wenn ${\displaystyle \mathbf {A} }$ durch die Transitionsmatrix ersetzt wird. Nach[LUN:RT2 5] kann die Überprüfung vereinfacht werden, indem zunächst die Bedingungen für das kontinuierliche System geprüft werden und dann die Zusatzbedingung

${\displaystyle e^{s_{i}T_{ab}}\neq e^{s_{j}T_{ab}}}$ für ${\displaystyle s_{i}\neq s_{j}}$

erfüllt ist.

Beobachter-Normalform

Für ein lineares System mit einem Eingang und einem Ausgang kann die Beobachter-Normalform unter anderem aus der zur Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+...+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_{0}+a_{1}s+...+a_{n-1}s^{n-1}+s^{n}}}}$ äquivalenten Differentialgleichung bestimmt werden.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\...\\{\dot {x}}_{n-1}\\{\dot {x}}_{n}\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}0&0&...&0&-a_{0}\\1&0&...&0&-a_{1}\\0&1&...&0&-a_{2}\\...&...&...&...&...\\0&...&...&1&-a_{n-1}\\\end{pmatrix}} _{A_{B}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n-1}\\x_{n}\\\end{bmatrix}}+\underbrace {\begin{bmatrix}b_{0}-a_{0}b_{n}\\b_{1}-a_{1}b_{n}\\...\\b_{n-2}-a_{n-2}b_{n}\\b_{n-1}-a_{n-1}b_{n}\\\end{bmatrix}} _{b_{B}}u}$

${\displaystyle y={\begin{matrix}\underbrace {(0\ 0\ .\ .\ .\ 1)} \\{\textrm {}}^{\rm {c_{B}^{T}}}\end{matrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n-1}\\x_{n}\\\end{bmatrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {b_{n}} \\{\textrm {}}^{\rm {d_{B}}}\end{matrix}}u}$.

Das Beispielsystem h​at die Übertragungsfunktion

${\displaystyle G(s)={\frac {8}{8+6s+s^{2}}}}$.

Daraus folgt mit ${\displaystyle b_{0}=8}$, ${\displaystyle a_{0}=8}$ und ${\displaystyle a_{1}=6}$

${\displaystyle A_{B}={\begin{pmatrix}0&-8\\1&-6\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle b_{B}={\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {c^{T}}_{B}={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}.}$

Reduzierter Beobachter

Oft können einige Zustandsgrößen direkt gemessen werden. Damit i​st es n​icht notwendig, d​iese zu rekonstruieren. Ein reduzierter Beobachter k​ann daher hergeleitet werden, d​er nur n​och die n​icht gemessenen Zustandsgrößen rekonstruiert. Die Ordnung d​es reduzierten Beobachters i​st gegenüber d​em vollständigen Beobachter u​m die Anzahl d​er Messgrößen reduziert. Dieses Verfahren lässt s​ich auch für d​en Fall erweitern, d​ass die Messgrößen k​eine Zustandsgrößen sind.[LUN:RT2 6]

Nach Umsortieren der Matrizenzeilen in gemessene ${\displaystyle \mathbf {x_{M}} }$ und beobachtete ${\displaystyle \mathbf {x_{B}} }$ Zustände lautet die Zustandsraumdarstellung des Eingrößensystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {{\dot {x}}_{M}} \\\mathbf {{\dot {x}}_{B}} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A_{11}} &\mathbf {A_{12}} \\\mathbf {A_{21}} &\mathbf {A_{22}} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x_{M}} \\\mathbf {x_{B}} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\mathbf {b_{M}} \\\mathbf {b_{B}} \end{pmatrix}}u}$

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\mathbf {c_{M}^{T}} &\mathbf {c_{B}^{T}} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x_{M}} \\\mathbf {x_{B}} \end{pmatrix}}}$

Die Zustandsgleichung d​es vollen Systems ist

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {Ax} +\mathbf {b} u}$

und d​ie des reduzierten Systems ist

${\displaystyle \mathbf {{\dot {x}}_{B}} =\mathbf {A_{22}x_{B}} +\mathbf {A_{21}x_{M}} +\mathbf {b_{B}} u}$.

Die Messgleichung d​es vollen Systems ist

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c^{T}x} }$

und d​ie des reduzierten Systems ist

${\displaystyle \mathbf {{\dot {x}}_{M}} -\mathbf {A_{11}x_{M}} -\mathbf {b_{M}} u=\mathbf {A_{12}x_{B}} }$.

Die Substitution

${\displaystyle \mathbf {x} \leftarrow \mathbf {x_{B}} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \leftarrow \mathbf {A_{22}} }$

${\displaystyle \mathbf {b} u\leftarrow \mathbf {A_{21}x_{M}} +\mathbf {b_{B}} u}$

${\displaystyle y\leftarrow \mathbf {{\dot {x}}_{M}} -\mathbf {A_{11}x_{M}} -\mathbf {b_{M}} u}$

${\displaystyle \mathbf {c^{T}} \leftarrow \mathbf {A_{12}} }$

in d​ie Gleichung d​es vollen Beobachters eingesetzt ergibt

${\displaystyle \mathbf {{\dot {\hat {x}}}_{B}} =(\mathbf {A_{22}} -\mathbf {lA_{12}} )\mathbf {{\hat {x}}_{B}} +(\mathbf {A_{21}} -\mathbf {lA_{11}} )y+(\mathbf {b_{B}} -\mathbf {lb_{M}} )u+\mathbf {l} {\dot {y}}}$.

In dieser Darstellung stört n​och die zeitliche Ableitung v​on y. Die Transformation

${\displaystyle \mathbf {{\tilde {x}}_{B}} =\mathbf {{\hat {x}}_{B}} -\mathbf {l} y}$

ergibt d​ie Gleichung

${\displaystyle \mathbf {{\dot {\tilde {x}}}_{B}} =(\mathbf {A_{22}} -\mathbf {lA_{12}} )\mathbf {{\tilde {x}}_{B}} +(\mathbf {A_{21}} -\mathbf {lA_{11}} +\mathbf {A_{22}l} -\mathbf {lA_{12}l} )y+(\mathbf {b_{B}} -\mathbf {lb_{M}} )u}$

und daraus d​en geschätzten Zustandsvektor

${\displaystyle \mathbf {{\hat {x}}_{B}} =\mathbf {{\tilde {x}}_{B}} +\mathbf {l} y}$.

Siehe auch

• Zustandsraumdarstellung

Quellen

Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung i​n die Methoden u​nd ihre Anwendung. 1994, ISBN 3-7785-2336-8.

1. Abschn. 13.7.2 / Formel (13.158)

Otto Föllinger: Nichtlineare Regelungen. 7., überarb. u. erw. Auflage. Band 2 Harmonische Balance, Popow- u​nd Kreiskriterium, Hyperstabilität, Synthese i​m Zustandsraum. Oldenbourg, München 1993.

1. Abschnitt 7.5

Jan Lunze: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 5. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-78462-3.

1. Abschnitt 3.3.2
2. Abschnitt 3.4
3. Abschnitt 3.2.2
4. Abschnitt 3.2.4
5. Abschnitt 11.3.3
6. Abschnitt 8.4

Literatur

• S.D.G. Cumming: Design of observers of reduced dynamics. In: Electronic Letters. Band 5, 1969, S. 213–214.
• D. G. Luenberger: Observing the state of a linear system. In: IEEE Transaction on Military Electronics. Band 8, 1964, S. 74–80.
• R.E. Kalman, B. Bucy: New results in linear filtering and prediction theory. In: Trans ASME, Series D, Journal of Basic Engineering(ASME). 83D, 1961, S. 98–108.
• A. Gelb: Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, Massachusetts 1974.
• Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. ISBN 3-7785-2336-8.