Austauschbare Familie von Zufallsvariablen

Austauschbare Familie v​on Zufallsvariablen i​st ein Begriff a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie, d​er die intuitive Vorstellung formalisiert, d​ass bei d​er Auswertung gewisser Informationen d​ie Reihenfolge d​er Auswertung e​gal ist. Eine d​er wichtigsten Aussagen über austauschbare Familien i​st der Darstellungssatz v​on de Finetti. Austauschbarkeit i​st eine Abschwächung d​er Forderung, d​ass Zufallsvariablen unabhängig identisch verteilt sind.

Definition

Eine Familie ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ von Zufallsvariablen heißt austauschbare Familie von Zufallsvariablen, wenn für jede Permutation ${\displaystyle \sigma }$ der Indexmenge ${\displaystyle I}$, die nur endlich viele Werte von ${\displaystyle I}$ vertauscht, die Verteilung von ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ mit der Verteilung von ${\displaystyle (X_{\sigma (i)})_{i\in I}}$ übereinstimmt.

Äquivalent dazu ist die Definition, dass für alle Teilmengen ${\displaystyle J\subset I}$ mit ${\displaystyle |J|=n}$ die Verteilungen von ${\displaystyle (X_{i})_{i\in J}}$ gleich sind.

Alternativ und äquivalent dazu definiert man eine Familie von Zufallsvariablen genau dann als austauschbar, wenn für jedes ${\displaystyle n}$ und für alle paarweise verschiedene ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{n}\in I}$ Elemente ${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{n}\in I}$ existieren, so dass ${\displaystyle (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{n}})}$ und ${\displaystyle (X_{j_{1}},\dots ,X_{j_{n}})}$ identisch verteilt sind.

Bemerkungen und Eigenschaften

• Austauschbare Familien sind immer identisch verteilt. Dies folgt direkt aus der Definition, da die Gleichheit der Verteilungen für alle endlichen Teilmengen und damit auch für jede einzelne Zufallsvariable gefordert wird.
• Eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist genau dann austauschbar, wenn ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ unabhängig identisch verteilt gegeben eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist. Ist dies der Fall, kann als σ-Algebra immer die terminale σ-Algebra oder die austauschbare σ-Algebra gewählt werden. Diese Aussage geht auf Bruno de Finetti zurück.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.