Zufallsgraph

Ein Zufallsgraph bezeichnet e​inen Graphen, b​ei dem d​ie Kanten zufällig erzeugt werden. Häufig eingesetzte Modelle zufälliger Graphen sind:

• Gilbert-Graph (benannt nach Edgar Gilbert):[1] ${\displaystyle G(n,p)}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$, der Zahl der Knoten, und einer Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ bezeichnet die Menge aller Graphen, bei denen für jedes geordnete Paar ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ von Knoten, mit ${\displaystyle v_{i}\leq n}$, mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ bestimmt wird, ob sie durch eine Kante verbunden werden, und das unabhängig von den anderen Kanten. Man untersucht dann häufig, mit welcher Wahrscheinlichkeit die erzeugten Graphen eine bestimmte Eigenschaft haben, z. B. ob sie zusammenhängend sind. Eine weitere Möglichkeit ist es, ${\displaystyle p=p(n)}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle n}$ vorzugeben und dann das Verhalten bei wachsendem ${\displaystyle n}$ zu untersuchen.

• Erdős-Rényi-Graph (benannt nach Paul Erdős und Alfréd Rényi):[2] ${\displaystyle G(n,m)}$ mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\geq 1}$ und ${\displaystyle m\geq 0}$ bezeichnet die Menge aller Graphen mit exakt ${\displaystyle n}$ Knoten und ${\displaystyle m}$ Kanten.

• Die Knoten ${\displaystyle V}$ des Graphen ${\displaystyle G}$ werden in der Ebene gemäß einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle f}$ verteilt. Wenn zwei Knoten ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ einen Abstand kleiner als eine vorgegebene Grenze ${\displaystyle d}$ haben, werden sie durch eine Kante verbunden.

Realisierung des Gilbert-Graphen ${\displaystyle G(20;\;0{,}1)}$

Fragestellungen

Wichtige Fragestellungen b​ei zufälligen Graphen sind:

• Gegeben eine Eigenschaft ${\displaystyle Q}$ und teste, für welche ${\displaystyle p}$ bzw. ${\displaystyle m}$ und ab welcher Graphengröße ${\displaystyle n}$ besitzen alle Graphen die Eigenschaft ${\displaystyle Q}$?

• Gegeben eine Eigenschaft ${\displaystyle Q}$, geht die Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle Q}$ gegen 1 oder 0 für ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$? Man sagt dann auch, fast alle oder fast gar keine Graphen erfüllen die Eigenschaft ${\displaystyle Q}$.

Wichtige Ergebnisse

Durch Anwendung der probabilistischen Methode auf sein Zufallsgraphenmodell bewies Paul Erdős den Satz: Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle k}$ gibt es einen Graphen, bei dem sowohl Taillenweite (Länge des kürzesten Kreises) als auch Chromatische Zahl größer als k sind.[3]

Im selben Zufallsgraphenmodell konnte gezeigt werden, d​ass Isomorphie z​u einem beliebigen Graphen für fast alle Graphen i​n linearer Zeit entscheidbar ist.[4]

Literatur

• Douglas B. West: Introduction to Graph Theory. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. 1996, ISBN 0-13-227828-6.

Einzelnachweise

1. E. N. Gilbert: Random graphs, Annals of Mathematical Statistics, Band 30, 1959, S. 1141–1144
2. P. Erdős, A. Rényi: On Random Graphs I, Publ. Math. Debrecen 6, 1959, S. 290–297
3. Reinhard Diestel, Graphentheorie, Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 3. Auflage 2006, S. 256ff.
4. Babai, László, Paul Erdös, und Stanley M. Selkow. "Random graph isomorphism." Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Computing 9.3 (1980): 628-635.online