Quotientenmodul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul ${\displaystyle M}$ und einem Untermodul ${\displaystyle N\subseteq M}$ ist der Quotientenmodul ${\displaystyle M/N}$ das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle M\to M/N}$ mit Kern ${\displaystyle N}$.

Quotientenmoduln s​ind das Analogon d​er Begriffe Faktorraum i​n der Theorie d​er Vektorräume s​owie Faktorgruppe i​n der Gruppentheorie.

Definition

Es sei ${\displaystyle A}$ ein Ring. Zu einem ${\displaystyle A}$-(Links-)Modul ${\displaystyle M}$ und einem Untermodul ${\displaystyle N\subseteq M}$ ist der Quotientenmodul ${\displaystyle M/N}$ die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von ${\displaystyle M}$ nach der Äquivalenzrelation

${\displaystyle m_{1}\equiv m_{2}\mod N\iff m_{1}-m_{2}\in N}$

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung ${\displaystyle M\to M/N}$ ein Homomorphismus ist:[1]

${\displaystyle a\cdot (m+N)=am+N,\quad m\in M,a\in A}$

${\displaystyle (m_{1}+N)+(m_{2}+N)=(m_{1}+m_{2})+N,\quad m_{1},m_{2}\in M.}$

Eigenschaften

• Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln ${\displaystyle M,N}$ eines Moduls ${\displaystyle Q}$ gilt[2]

${\displaystyle M/(M\cap N)\cong (M+N)/N.}$

Für Untermoduln ${\displaystyle N\subseteq Q\subseteq P}$ gilt[3]

${\displaystyle (P/N)/(Q/N)\cong P/Q.}$

• Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel ${\displaystyle M}$ und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle ${\displaystyle M}$; einem Monomorphismus ${\displaystyle i\colon N\to M}$ entspricht der Quotientenmodul ${\displaystyle M/i(N)}$, einem Epimorphismus ${\displaystyle p\colon M\to Q}$ der Untermodul ${\displaystyle \ker p}$.
• Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
• Ist ${\displaystyle B}$ eine (unitäre, assoziative) ${\displaystyle A}$-Algebra, so ist

${\displaystyle B\otimes _{A}(M/N)\cong (B\otimes _{A}M)/U;}$

dabei steht ${\displaystyle U}$ für das Bild von ${\displaystyle B\otimes _{A}N}$ in ${\displaystyle B\otimes _{A}M}$.

• Ist ${\displaystyle I}$ ein (zweiseitiges) Ideal in ${\displaystyle A}$, so ist der Faktormodul ${\displaystyle A/I}$ dasselbe wie der Faktorring ${\displaystyle A/I}$.

Einzelnachweise

1. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 5.1: Linksmoduln
2. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.7
3. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.8