Diskreter Bewertungsring

Im mathematischen Teilgebiet d​er kommutativen Algebra s​ind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe m​it besonders g​uten Eigenschaften.

Definition

Ein diskreter Bewertungsring i​st ein lokaler Hauptidealring, d​er kein Körper ist.

Ein Erzeuger d​es maximalen Ideals heißt uniformisierendes Element o​der kurz Uniformisierendes. Man schreibt a​uch kurz DVR (für discrete valuation ring) o​der DBR.

Eigenschaften

• Ein diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring, insbesondere ein regulärer lokaler Integritätsring.
• Das Spektrum ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ eines diskreten Bewertungsringes ${\displaystyle R}$ besteht aus genau zwei Punkten:
  • Einem abgeschlossenen Punkt, dem speziellen Punkt, zugehörig zum maximalen Ideal ${\displaystyle (\pi )}$ (wenn ${\displaystyle \pi }$ das uniformisierende Element ist)
  • und einem nicht abgeschlossenen (aber offenen) Punkt, dem generischen Punkt ${\displaystyle (0)}$.
• Für einen diskreten Bewertungsring ${\displaystyle R}$ wird durch ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)\rightarrow \mathbb {Z}$ ;{\frac {a}{b}}\mapsto v_{\pi }(a)-v_{\pi }(b)} eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper definiert (wenn ${\displaystyle v_{\pi }(a)=n}$ für ${\displaystyle (a)=(\pi )^{n}}$ in ${\displaystyle R}$). Diese Bewertung hat ${\displaystyle R}$ als Bewertungsring.
• Ordnet man einem diskret bewerteten Körper ${\displaystyle F}$ seinen Bewertungsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ zu und wendet darauf obige Konstruktion an, so erhält man einen diskret bewerteten Körper, der isomorph zu ${\displaystyle F}$ ist. Mit anderen Worten: Diese Konstruktionen induzieren eine Äquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Körpern und diskreten Bewertungsringen.

Beispiele

• Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ für jede Primzahl ${\displaystyle p}$. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Der Ring der rationalen Zahlen, die p-adisch ganz sind, für eine Primzahl ${\displaystyle p}$
           ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}$.
  Es ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Z} _{p}\cap \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$.
• Der Ring der formalen Potenzreihen ${\displaystyle k[[T]]}$ in einer Unbestimmten über einem Körper ${\displaystyle k}$.
• Der Ring der konvergenten Potenzreihen

${\displaystyle \mathbb {C} \{T\}=\left.\left\{\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\,\right|\exists r>0\colon \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\ \mathrm {konvergiert\ f{\ddot {u}}r} \ |z|<r\right\}\subset \mathbb {C} [[T]].}$

• Der lokale Ring zu einem glatten Punkt einer algebraischen Kurve.

Literatur

• M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 9, ISBN 0-201-00361-9