Dedekindring

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, a​uch Dedekindbereich o​der ZPI-Ring) i​st eine Verallgemeinerung d​es Ringes d​er ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden s​ich hauptsächlich i​n den mathematischen Teilgebieten d​er algebraischen Zahlentheorie u​nd der kommutativen Algebra, besonders i​n der Idealtheorie.

Definition

Ein Dedekindring i​st ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsring.

Manche Autoren fordern, d​ass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper p​er Definition k​eine Dedekindringe sind. Dies i​st jedoch n​icht üblich.

Eigenschaften

• Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die ZPI-Ringe sind.

• Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.

• Eindimensionale lokale Dedekindringe sind genau die diskreten Bewertungsringe.

• Über einem Dedekindring ist jedes vom Nullideal verschiedene gebrochene Ideal invertierbar.

• Faktorielle Dedekindringe sind Hauptidealringe. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.

Beispiele

• Jeder Hauptidealring (und damit auch jeder diskrete Bewertungsring) ist ein Dedekindring.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein Hauptidealring, und ${\displaystyle L}$ eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle L}$ ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].}$
• Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

Keine Dedekindringe sind:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ (zweidimensional),
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ (nicht normal),
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]/(X^{2})}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ (keine Integritätsringe),
• der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in einem algebraischen Abschluss ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ der rationalen Zahlen (nicht noethersch).

Literatur

• L. A. Bokut: Dedekind ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, [http://eom.springer.de/D/d030550.htm (Memento vom 12. Januar 2011 im Internet Archive) online]).