Normalität (kommutative Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra heißt ein Integritätsbereich ${\displaystyle A}$ normal, wenn er ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist. Das heißt: Ist ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Quot} (A)}$ und ${\displaystyle \alpha }$ ganz über ${\displaystyle A}$, so ist bereits ${\displaystyle \alpha \in A}$. Allgemein heißt ein beliebiger kommutativer Ring normal, wenn alle seine lokalen Ringe normale Integritätsbereiche sind. Für Integritätsbereiche stimmen die beiden Definitionen überein.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Eigenschaften

• Jeder faktorielle Ring ist normal.
• Jeder reguläre Ring ist normal.
• Lokalisierungen normaler Ringe sind wieder normal.

Wird vorausgesetzt, d​ass der Ring noethersch ist, s​o gilt:

• Ein normaler Ring ist ein endliches Produkt normaler Integritätsbereiche.
• Ein normaler Integritätsbereich ist der Schnitt seiner Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1:

${\displaystyle A=\bigcap _{\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}A_{\mathfrak {p}}.}$

• Die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1 sind diskrete Bewertungsringe.

Beispiele

• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen ist normal.
• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}}$ mit ${\displaystyle i^{2}=-1}$ der ganzen Gaußschen Zahlen ist ebenfalls normal.
• Der Ring ${\displaystyle A:=\mathbb {Z} [di]}$ für ${\displaystyle d>1}$ ist nicht normal, weil i im Quotientenkörper von A liegt und ganz über A ist, aber nicht in A liegt.

Serresches Normalitätskriterium

Ein noetherscher Ring i​st genau d​ann normal, w​enn die Bedingungen R₁ u​nd S₂ erfüllt sind.

Die Regularitätsbedingung R_k für eine ganze Zahl ${\displaystyle k\geq 0}$ besagt, dass die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe ${\displaystyle \leq k}$ regulär sind. R₁ bedeutet für einen noetherschen Integritätsbereich lediglich, dass die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1 diskrete Bewertungsringe sind; für beliebige noethersche Ringe ist noch Reduziertheit, d. h. die Abwesenheit nichttrivialer nilpotenter Elemente, erforderlich.

Die Serre-Bedingung S_k für eine natürliche Zahl ${\displaystyle k\geq 1}$ besagt, dass die Tiefe jedes lokalen Ringes größer oder gleich dem Minimum aus seiner Dimension und ${\displaystyle k}$ ist, in Formeln

${\displaystyle \operatorname {tf} A_{\mathfrak {p}}\geq \min\{k,\dim A_{\mathfrak {p}}\}.}$

Die Kombination a​us R₁ u​nd S₂ k​ann auch w​ie folgt zusammengefasst werden:

• Für Primideale der Höhe ${\displaystyle \leq 1}$ ist der lokale Ring regulär, d. h. ein Körper oder ein diskreter Bewertungsring.
• Für Primideale der Höhe ${\displaystyle \geq 2}$ ist die Tiefe des lokalen Ringes mindestens 2.

Insbesondere g​ilt also: Ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich i​st genau d​ann normal, w​enn die Lokalisierungen a​n den maximalen Idealen diskrete Bewertungsringe sind. Derartige Ringe heißen Dedekindringe.

Anwendungen

In der algebraischen Geometrie wird ein Schema ${\displaystyle X}$ als normal bezeichnet, wenn alle lokalen Ringe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ normal sind.

Ist ${\displaystyle X}$ ein beliebiges integres Schema und ${\displaystyle K(X)}$ der zugehörige Funktionenkörper, dann kann ein weiteres Schema ${\displaystyle X^{norm}\rightarrow X}$, die Normalisierung von ${\displaystyle X}$, wie folgt konstruiert werden: Ist ${\displaystyle U\subset X}$ eine offene, affine Teilmenge, also das Spektrums eines Rings ${\displaystyle R}$, dann bilde den ganzen Abschluss ${\displaystyle {\tilde {R}}}$ von ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle K(X)}$. Die Spektren der Ringe ${\displaystyle {\tilde {R}}}$ lassen sich zu einem Schema ${\displaystyle X^{norm}}$ verkleben. Der Morphismus ${\displaystyle X^{norm}\rightarrow X}$ wird dabei induziert von den Inklusionen ${\displaystyle R\rightarrow {\tilde {R}}}$. Die so erhaltene Normalisierung hat die Eigenschaft, regulär in Kodimension 1 zu sein. Ist ${\displaystyle X}$ also eine Kurve, so besitzt ${\displaystyle X^{norm}}$ keine Singularitäten. (Unter milden Bedingungen ist ${\displaystyle X^{norm}\rightarrow X}$ eine Auflösung der Singularitäten im Sinne der algebraischen Geometrie.)

Quellen

• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995. ISBN 0-387-94269-6
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6
• A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)