Hauptideal

Das Hauptideal i​st ein Begriff a​us der Ringtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Algebra. Es stellt e​ine Verallgemeinerung d​er aus d​er Schulmathematik bekannten Teilmengen d​er ganzen Zahlen dar, d​ie Vielfache e​iner Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen s​ind die geraden Zahlen o​der die Vielfachen d​er Zahl 3.

Definition

Ein Hauptideal eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist ein von einem einzigen Element ${\displaystyle a\in R}$ erzeugtes Ideal

${\displaystyle (a):=\left(\left\{a\right\}\right).}$

Eigenschaften

Mit d​en Komplexprodukten

${\displaystyle Ra:=\{ra\mid r\in R\},}$

${\displaystyle aR:=\{ar\mid r\in R\}}$

und

${\displaystyle RaR:=\{ras\mid r,s\in R\}}$

gilt jeweils für das von ${\displaystyle a\in R}$ erzeugte

• Haupt-Linksideal:

  ${\displaystyle (a)=\{a_{1}+\ldots +a_{n}\;|\;n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{\pm a\}\cup Ra\},}$

• Haupt-Rechtsideal:

  ${\displaystyle (a)=\{a_{1}+\ldots +a_{n}\;|\;n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{\pm a\}\cup aR\},}$

• (zweiseitige) Hauptideal:

  ${\displaystyle (a)=\{a_{1}+\dotsb +a_{n}\mid n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}a_{i}\in \{\pm a\}\cup Ra\cup aR\cup RaR\}.}$

Falls der Ring ${\displaystyle R}$ ein Einselement 1 besitzt, folgt für das

• Haupt-Linksideal:

  ${\displaystyle \left(a\right)=Ra,}$

• Haupt-Rechtsideal:

  ${\displaystyle \left(a\right)=aR,}$

• (zweiseitige) Hauptideal:

  ${\displaystyle (a)=\{a_{1}+\dotsb +a_{n}\mid n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}a_{i}\in RaR\}.}$

Bemerkungen

• Es ist durchaus geläufig, mit ${\displaystyle RaR}$ das von ${\displaystyle a}$ erzeugte Hauptideal zu bezeichnen[1][2] (und nicht nur das darin enthaltene Komplexprodukt).
• In kommutativen Ringen stimmen alle drei Arten von Hauptidealen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.
• Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein. Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring ${\displaystyle K[X,Y]}$ aller Polynome in zwei Unbestimmten über einem Körper ${\displaystyle K}$. Das von den beiden Polynomen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ erzeugte Ideal ${\displaystyle (X,Y)}$ besteht aus allen Polynomen aus ${\displaystyle K[X,Y]}$, deren Absolutglied gleich ${\displaystyle 0}$ ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom ${\displaystyle P}$ ein Erzeuger von ${\displaystyle (X,Y)}$, dann müsste ${\displaystyle P}$ ein Teiler sowohl von ${\displaystyle X}$ als auch von ${\displaystyle Y}$ sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich ${\displaystyle 0}$ zutrifft. Diese sind aber in ${\displaystyle (X,Y)}$ nicht enthalten.

Verwandter Begriff

Ein Integritätsring, i​n dem j​edes Ideal e​in Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer 2005, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X.
• Bernhard Hornfeck: Algebra. 3. Auflage. De Gruyter 1976, ISBN 3-11-006784-6
• Gisbert Wüstholz: Algebra. Vieweg, 2004, ISBN 3-528-07291-1, doi:10.1007/978-3-322-85035-5.

Einzelnachweise

1. Principal ideal. Encyclopedia of Mathematics. URL: https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Principal_ideal&oldid=35049, abgerufen 12. April 2018
2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Seite 21