Idealklassengruppe

Die Idealklassengruppe i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Zahlentheorie. Sie i​st ein Maß dafür, w​ie weit d​er Ganzheitsring i​n einem algebraischen Zahlkörper d​avon entfernt ist, eindeutige Primfaktorzerlegung z​u besitzen. Ihre Ordnung w​ird Klassenzahl genannt.

Definition (für Dedekindringe)

Es sei ${\displaystyle A}$ ein Dedekindring mit Quotientenkörper ${\displaystyle K}$, beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper. Dann ist die Idealklassengruppe ${\displaystyle \operatorname {Pic} A}$ definiert als die Faktorgruppe

${\displaystyle \operatorname {Pic} A=J_{A}/P_{A}.}$

Dabei ist

• ${\displaystyle J_{A}}$ die Gruppe der gebrochenen Ideale, d. h. der endlich erzeugten ${\displaystyle A}$-Untermoduln von ${\displaystyle K}$, die nicht nur die Null enthalten, mit dem Produkt

${\displaystyle IJ=\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|a_{i}\in I,b_{i}\in J\right\},}$

Die Gruppe ${\displaystyle J_{A}}$ ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle P_{A}}$ die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, d. h. der Untermoduln der Form

${\displaystyle (a)=A\cdot a\subset K}$

für ${\displaystyle a\in K^{\times }}$.

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$ für ${\displaystyle \operatorname {Pic} A}$.

Die Äquivalenzklassen der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ sind äquivalent, wenn es ein Element ${\displaystyle \lambda \in K^{\times }}$ gibt, so dass ${\displaystyle I=\lambda J}$ gilt.

Eigenschaften

• ${\displaystyle \operatorname {Pic} A}$ ist genau dann trivial, d. h. die Klassenzahl ist 1, wenn ${\displaystyle A}$ ein Hauptidealring ist, und das ist äquivalent dazu, dass es in ${\displaystyle A}$ eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt.
• Ist ${\displaystyle A}$ der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers ${\displaystyle K}$, so ist ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$ endlich.
• Eine Verallgemeinerung des Konzepts der Idealklassengruppe liefert die Algebraische K-Theorie. Wenn ${\displaystyle A}$ der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(A)=\mathbb {Z} \oplus \operatorname {Cl} _{K}}$.
• Die Klassenzahlformel setzt die Klassenzahl eines Zahlkörpers in Zusammenhang mit dem Residuum seiner Dedekindschen Zeta-Funktion in ${\displaystyle 1}$.

Beispiele

Es sei ${\displaystyle K}$ ein quadratischer Zahlkörper, d. h. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ für eine quadratfreie Zahl ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$.

Die einzigen negativen quadratfreien Zahlen ${\displaystyle d<0}$, für die die Idealklassengruppe von ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ trivial ist, sind

${\displaystyle d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$

Das w​urde von Carl Friedrich Gauss vermutet u​nd 1952 v​on Kurt Heegner bewiesen; Heegners Beweis f​and allerdings e​rst nach e​iner 1967 v​on Harold Stark veröffentlichten Arbeit Anerkennung.

Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele positive quadratfreie Zahlen ${\displaystyle d>0}$ gibt, für die die Idealklassengruppe von ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ trivial ist, es gibt aber viele berechnete Beispiele hierfür.

Verwandte Begriffe

Für einen algebraischen Zahlkörper ${\displaystyle K}$ gibt es eine Erweiterung ${\displaystyle H/K}$, den (kleinen) hilbertschen Klassenkörper. Die Galoisgruppe ${\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}$ ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von ${\displaystyle K}$ wird in ${\displaystyle H}$ zu einem Hauptideal.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.