Heegner-Zahl

Die Heegner-Zahlen s​ind die n​eun Zahlen 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 u​nd 163. Sie s​ind nach Kurt Heegner benannt.

Bedeutung der Heegner-Zahlen

In den gaußschen Zahlen und in den Eisenstein-Zahlen ist die Primfaktorzerlegung im Wesentlichen eindeutig. Man kann nun fragen, für welche anderen Erweiterungen der ganzen Zahlen dies ebenfalls der Fall ist. Schränkt man sich dabei auf Ganzheitsringe von Erweiterungen ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ der rationalen Zahlen durch Adjunktion der Quadratwurzel aus einer quadratfreien negativen ganzen Zahl ${\displaystyle d}$ ein, so stellt sich heraus, dass die Primfaktorzerlegung genau dann eindeutig ist, wenn ${\displaystyle -d}$ eine Heegner-Zahl ist. Die gaußschen Zahlen und die Eisensteinzahlen entsprechen dabei den Fällen ${\displaystyle d=-1}$ bzw. ${\displaystyle d=-3}$.

Auch d​ie Tatsache, dass

${\displaystyle N\left({\frac {2X\pm 1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left({\frac {2X\pm 1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {163}}{2}}\right)^{2}=X^{2}\pm X+{\frac {1+163}{4}}=X^{2}\pm X+41}$

für ${\displaystyle X=0,1,\ldots ,{\frac {1+163}{4}}-2=39}$ nur Primzahlen als Werte hat, folgt unmittelbar aus dem Zerlegungsgesetz für quadratische Zahlkörper, da ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {-163}}\right)}$ Klassenzahl ${\displaystyle 1}$ hat.

Geschichte des Problems

Die Lösung d​es Problems i​st schon v​on Carl Friedrich Gauß vermutet worden. Es w​ar vor 1952 bekannt, d​ass es höchstens z​ehn solche Zahlen g​eben kann. Kurt Heegner f​and schließlich, d​ass die n​eun oben erwähnten Zahlen tatsächlich a​lle Lösungen sind.

Weitere Bezüge

• Heegner-Zahlen generieren Fast-Ganzzahlen (Almost Integer), z. B. die Ramanujankonstante ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$.[1]
• Die Heegner-Zahlen sind mit der j-Funktion verknüpft und generieren über diese Kubikzahlen.[2]

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Heegner-Zahl. In: MathWorld (englisch).
• Folge A003173 in OEIS mit weiteren Referenzierungen
• Dorian Goldfeld: Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields. (detaillierte Historie im Bulletin der American Mathematical Society, 1985) (PDF; 1,1 MB, 16 S.)

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Ramanujan Constant. In: MathWorld (englisch). vgl. auch en:Almost integer
2. Eric W. Weisstein: j-Function. In: MathWorld (englisch).