Lemma von Bézout

Das Lemma von Bézout (nach Étienne Bézout (1730–1783)) in der Zahlentheorie besagt, dass sich der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ als Linearkombination von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt.

Bezout beschrieb d​ie Aussage 1766 i​m dritten Band seiner vierbändigen Cours d​e Mathematiques a l’usage d​es Gardes d​u Pavillon e​t de l​a Marine u​nd verallgemeinerte s​ie dort a​uf Polynome. Allerdings w​ar die Aussage bezogen a​uf ganze Zahlen bereits 142 Jahre früher v​on Claude Gaspard Bachet d​e Méziriac aufgestellt worden, d​er sie a​ls Proposition XVIII i​n seinem 1624 erschienenen Buch Problemes plaisants e​t delectables q​ui se f​onts par l​es nombres bewies.[1]

Aussage und formale Darstellung

Formal ausgedrückt gilt:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} \ \exists s,t\in \mathbb {Z}$ :\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b}

Sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ teilerfremd (das ist der Spezialfall mit ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=1}$), existieren ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$, sodass

${\displaystyle 1=s\cdot a+t\cdot b}$

gilt. Außerdem gilt auch eine Art Umkehrung; gibt es nämlich ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle sa+tb=1}$, dann ist ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=1}$.[2]

Die Koeffizienten ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$ können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus effizient berechnet werden.

Das Lemma lässt sich auf mehr als zwei ganze Zahlen verallgemeinern: Sind ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ganze Zahlen, dann existieren ganzzahlige Koeffizienten ${\displaystyle s_{1},\dotsc ,s_{n}}$ mit

${\displaystyle s_{1}a_{1}+\dotsb +s_{n}a_{n}=\operatorname {ggT} (a_{1},\dotsc ,a_{n})}$.

Allgemeiner g​ilt das Lemma v​on Bézout i​n jedem Hauptidealring, s​ogar in e​inem nicht-kommutativen; für d​ie genauen Aussagen s​iehe dort.

Die Frage, welche Zahlen s​ich sogar m​it natürlichen Zahlen a​ls Koeffizienten darstellen lassen, i​st Gegenstand d​es Münzproblems.

Beweis

Der Beweis des Lemmas basiert auf der Möglichkeit der Division mit Rest. Somit lässt er sich leicht auf euklidische Ringe übertragen.

Für ${\displaystyle a=0}$ kann ${\displaystyle s=0}$ und ${\displaystyle t=\pm 1}$ gesetzt werden, also nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass ${\displaystyle a\neq 0}$ gilt. Unter allen Zahlen ${\displaystyle x=s\cdot a+t\cdot b}$ mit ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ gibt es sicher auch solche, die positiv und ${\displaystyle \neq 0}$ sind. Sei ${\displaystyle d=s\cdot a+t\cdot b}$ die kleinste Zahl unter diesen. Da ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)}$ sowohl ${\displaystyle a}$ als auch ${\displaystyle b}$ teilt, teilt ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)}$ auch ${\displaystyle d}$ .

Wir zeigen nun, dass ${\displaystyle d}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist. Die Division mit Rest liefert uns eine Darstellung ${\displaystyle a}$ der Form ${\displaystyle q\cdot d+r}$, wobei ${\displaystyle 0\leq r<d}$ . Setzt man für ${\displaystyle d}$ die Darstellung ${\displaystyle s\cdot a+t\cdot b}$ ein und löst die Gleichung nach ${\displaystyle r}$ auf, so erhält man ${\displaystyle r=(1-q\cdot s)\cdot a+(-q\cdot t)\cdot b}$. Wegen der Minimalität von ${\displaystyle d}$ muss ${\displaystyle r=0}$ sein, also ist ${\displaystyle d}$ ein Teiler von ${\displaystyle a}$. Entsprechend gilt auch, dass ${\displaystyle d}$ ein Teiler von ${\displaystyle b}$ ist, und somit gilt ${\displaystyle d\leq \operatorname {ggT} (a,b)}$. Vorher hatten wir schon gesehen, dass ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)}$ ein Teiler von ${\displaystyle d}$ ist. Also gilt ${\displaystyle d=\operatorname {ggT} (a,b)}$.

Hauptideale

Verwendet man den Begriff des Ideals aus der Ringtheorie, so gilt grundsätzlich, dass die Hauptideale ${\displaystyle aR}$ und ${\displaystyle bR}$ in dem Hauptideal ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)\;R}$ enthalten sind. Also ist auch das Ideal ${\displaystyle aR+bR}$ in ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)\;R}$ enthalten. Man kann das Lemma von Bézout auch so formulieren, dass für den Ring ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ (oder allgemein für euklidische Ringe) gilt

${\displaystyle aR+bR=cR}$, wenn ${\displaystyle c=\operatorname {ggT} (a,b)}$

Hauptidealringe sind Ringe, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dort gibt es zu Elementen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ des Ringes immer ein Element ${\displaystyle c}$, sodass das Ideal ${\displaystyle aR+bR}$ das Hauptideal ${\displaystyle cR}$ ist. ${\displaystyle c}$ ist dann einerseits ein gemeinsamer Teiler von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, und andererseits eine Linearkombination von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. In Hauptidealringen gilt daher gewissermaßen definitionsgemäß das Lemma von Bézout, wenn man das Element ${\displaystyle c}$ als den ${\displaystyle \operatorname {ggT} }$ von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ansieht.

Folgerungen

Das Lemma von Bézout ist für die Mathematik und besonders für die Zahlentheorie von elementarer Bedeutung. So lässt sich damit z. B. das Lemma von Euklid ableiten, welches die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung zur Folge hat. Der chinesische Restsatz ist eine weitere Folgerung aus dem Lemma von Bézout. Für lineare diophantische Gleichungen ergibt das Lemma von Bézout ein Kriterium für deren Lösbarkeit.

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 43
• Stephen Fletcher Hewson: A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics. World Scientific, 2003, ISBN 978-981-238-555-0, S. 111 ff.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bezout’s Identity. In: MathWorld (englisch).
• Bézout’s Lemma im ProofWiki

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Wolfgang K. Seiler: Zahlentheorie. Vorlesungsskript, Uni Mannheim, 2018
2. Denn ist ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$ ein gemeinsamer Teiler von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, also ${\displaystyle a=a^{\prime }d}$ und ${\displaystyle b=b^{\prime }d}$, dann ist ${\displaystyle 1=sa^{\prime }d+tb^{\prime }d=(sa^{\prime }+tb^{\prime })\,d=1}$, also ${\displaystyle d}$ ein Teiler von 1. ■