Frobeniushomomorphismus

Der Frobeniushomomorphismus o​der Frobenius-Endomorphismus i​st in d​er Algebra e​in Endomorphismus v​on Ringen, d​eren Charakteristik e​ine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus i​st nach d​em deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Frobeniusendomorphismus eines Rings

Definition

Es sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik ${\displaystyle p}$, wobei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung

${\displaystyle \phi _{p}\colon R\to R,\ \ x\mapsto x^{p}}$

bezeichnet. Sie i​st ein Ringhomomorphismus.

Ist ${\displaystyle q=p^{e}}$, dann ist auch

${\displaystyle \phi _{q}=\phi _{p^{e}}\colon R\to R,\ \ x\mapsto x^{q}}$

ein Ringhomomorphismus.

Beweis der Homomorphieeigenschaft

Die Abbildung ${\displaystyle \phi _{p}}$ ist verträglich mit der Multiplikation in ${\displaystyle R}$, da aufgrund der Potenzgesetze

${\displaystyle \phi _{p}(x\cdot y)=(x\cdot y)^{p}=x^{p}\cdot y^{p}=\phi _{p}(x)\cdot \phi _{p}(y)}$

gilt. Ebenso gilt ${\displaystyle \phi _{p}(1)=1^{p}=1.}$ Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in ${\displaystyle R}$ verträglich, das heißt, es gilt ${\displaystyle \phi _{p}(x+y)=\phi _{p}(x)+\phi _{p}(y)}$. Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt nämlich

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+\left(\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}x^{p-k}y^{k}\right)+y^{p}}$

Da ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist, teilt ${\displaystyle p}$ zwar ${\displaystyle p!}$, aber nicht ${\displaystyle m!}$ für ${\displaystyle m<p}$. Da die Charakteristik ${\displaystyle p}$ deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {p}{k}}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}}$

teilt, verschwinden d​ie Binomialkoeffizienten i​n der obigen Formel. Die Addition vereinfacht s​ich zu

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}.}$

Daher ist der Frobeniushomomorphismus verträglich mit der Addition in ${\displaystyle R}$. Diese Gleichung wird im englischsprachigen Raum als Freshman’s Dream (der Traum des Anfängers) bezeichnet.

Verwendung

Im Folgenden ist ${\displaystyle p}$ stets eine Primzahl und ${\displaystyle q}$ eine Potenz von ${\displaystyle p}$. Alle vorkommenden Ringe oder Körper haben Charakteristik ${\displaystyle p}$.

• Nach dem Kleinen Satz von Fermat ist ${\displaystyle \phi _{p}}$ auf dem Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$ die Identität. Allgemeiner: Ist ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ein endlicher Körper, dann ist ${\displaystyle \phi _{q}}$ die Identität.
• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, dann ist ${\displaystyle \{x\in K:\phi _{p}(x)=x\}=\mathbb {F} _{p}}$.
• Ist ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q}}$ eine Erweiterung endlicher Körper, dann ist ${\displaystyle \phi _{q}}$ ein Automorphismus von ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}}$, der ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ elementweise fest lässt. Die Galoisgruppe ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q})}$ ist zyklisch und wird von ${\displaystyle \phi _{q}}$ erzeugt.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein Ring, dann ist ${\displaystyle \phi _{p}\colon A\to A}$ genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle A}$ keine nichttrivialen nilpotenten Elemente enthält. (Der Kern von ${\displaystyle \phi _{p}}$ ist ${\displaystyle \{a\in A:a^{p}=0\}}$.)
• Ist ${\displaystyle A}$ ein Ring und ist ${\displaystyle \phi _{p}\colon A\to A}$ bijektiv, dann heißt der Ring perfekt (oder vollkommen).[1] In einem perfekten Ring besitzt jedes Element eine eindeutig bestimmte ${\displaystyle p}$-te Wurzel. Perfekte Körper zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine inseparablen Erweiterungen besitzen.
• Der perfekte Abschluss eines Rings ${\displaystyle A}$ lässt sich als induktiver Limes darstellen:

${\displaystyle A^{p^{-\infty }}=\varinjlim \left(A{\stackrel {\phi _{p}}{\longrightarrow }}A{\stackrel {\phi _{p}}{\longrightarrow }}A{\stackrel {\phi _{p}}{\longrightarrow }}\dots \right)}$

• Die Additivität der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ wird auch in der Artin-Schreier-Theorie ausgenutzt.

Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern

Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkörper als auch lokaler Körper zu beschreiben. Sei ${\displaystyle A}$ ein Dedekindring, ${\displaystyle K}$ sein Quotientenkörper, ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Galoiserweiterung, ${\displaystyle B}$ der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle L}$. Dann ist ${\displaystyle B}$ ein Dedekindring. Sei weiter ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ein maximales Ideal in ${\displaystyle B}$ mit endlichem Restklassenkörper ${\displaystyle \lambda =B/{\mathfrak {P}}}$, außerdem ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cap A}$ und ${\displaystyle \kappa =A/{\mathfrak {p}}}$. Die Körpererweiterung ${\displaystyle \lambda /\kappa }$ ist galoissch. Sei ${\displaystyle G}$ die Galoisgruppe von ${\displaystyle L/K}$. Sie operiert transitiv auf den über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ liegenden Primidealen von ${\displaystyle B}$. Sei ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ die Zerlegungsgruppe, d. h. der Stabilisator von ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$. Der induzierte Homomorphismus

${\displaystyle r:G_{\mathfrak {P}}\to {\text{Gal}}(\lambda /\kappa )}$

ist surjektiv.[2] Sein Kern i​st die Trägheitsgruppe.

Es sei nun ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ unverzweigt, d. h. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}B_{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}}$. Dann ist der Homomorphismus ${\displaystyle r}$ ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus ${\displaystyle {\text{Frob}}_{\mathfrak {P}}\in {\text{Gal}}(L/K)}$ (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus ${\displaystyle \phi _{|\kappa |}\in {\text{Gal}}(\lambda /\kappa )}$ unter ${\displaystyle r}$. Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:

${\displaystyle {\text{Frob}}_{\mathfrak {P}}b\equiv b^{|\kappa |}\mod {\mathfrak {P}}}$

Weil ${\displaystyle G}$ auf den Primidealen über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert, so dass ihre Konjugationsklasse durch ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ abelsch ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus ${\displaystyle {\text{Frob}}_{\mathfrak {p}}\in {\text{Gal}}(L/K)}$.

Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die Klassenkörpertheorie: In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitätsabbildung von der Zuordnung ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\text{Frob}}_{\mathfrak {p}}}$ induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes. Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.[3]

Absoluter und relativer Frobenius für Schemata

Definition

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle X}$ ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Der absolute Frobenius ${\displaystyle \phi _{X}\colon X\to X}$ ist definiert als Identität auf dem topologischen Raum und ${\displaystyle p}$-Potenzierung auf der Strukturgarbe. Auf einem affinen Schema ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}\iff a^{p}\in {\mathfrak {p}}}$.

Sei nun ${\displaystyle X\to S}$ ein Morphismus von Schemata über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\stackrel {\phi _{X}}{\longrightarrow }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\stackrel {\phi _{S}}{\longrightarrow }}&S\end{matrix}}}$

kommutiert u​nd induziert d​en relativen Frobeniusmorphismus

${\displaystyle F_{X/S}\colon X\to X^{(p/S)}=S\times _{\phi _{S},S}X}$

der ein Morphismus über ${\displaystyle S}$ ist. Ist ${\displaystyle S={\text{Spec }}A}$ das Spektrum eines perfekten Rings ${\displaystyle A}$, dann ist ${\displaystyle \phi _{S}}$ ein Isomorphismus, also ${\displaystyle X^{(p/S)}\cong X}$, aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über ${\displaystyle S}$.

Beispiel

• Mit ${\displaystyle X=S[T_{1},\dots ,T_{n}]}$ ist ${\displaystyle X^{(p)}\cong S[T_{1},\dots ,T_{n}]}$ (über ${\displaystyle S}$), und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch:

${\displaystyle T_{i}\mapsto T_{i}^{p}}$

• Ist ${\displaystyle B=A[T_{1},\dots ,T_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$, dann ist ${\displaystyle ({\text{Spec }}B)^{(p/{\text{Spec }}A)}=A[T_{1}^{p},\dots ,T_{n}^{p}]/({\tilde {f}}_{1},\dots ,{\tilde {f}}_{m})}$, wobei ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ bedeuten soll, dass die Koeffizienten in die ${\displaystyle p}$-te Potenz erhoben werden. Der relative Frobenius ${\displaystyle ({\text{Spec }}B)^{(p/{\text{Spec }}A)}\to B}$ wird von ${\displaystyle T_{i}\mapsto T_{i}^{p}}$ induziert.

Eigenschaften

• ${\displaystyle F_{X/S}}$ ist ganz, surjektiv und radiziell. Für ${\displaystyle X/S}$ lokal von endlicher Präsentation ist ${\displaystyle F_{X/S}}$ genau dann ein Isomorphismus, wenn ${\displaystyle X/S}$ étale ist.[4]
• Wenn ${\displaystyle X/S}$ flach ist, besitzt ${\displaystyle X^{(p/S)}}$ die folgende lokale Beschreibung: Sei ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ eine offene affine Karte von ${\displaystyle X}$. Mit der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{p}}$ und ${\displaystyle \textstyle N=\sum _{\sigma \in S_{p}}\sigma }$ setze ${\displaystyle A^{(p)}=(A^{\otimes p})^{S_{p}}/N\cdot A^{\otimes p}}$. Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle A^{(p)}\to A}$, und durch Verkleben von ${\displaystyle {\text{Spec }}A^{(p)}}$ erhält man das Schema ${\displaystyle X^{(p)}}$.[5]

Satz von Lang

Ein Satz von Serge Lang besagt: Sei ${\displaystyle G}$ ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Dann ist der Morphismus

${\displaystyle L:x\mapsto x^{-1}\cdot F_{q}(x)}$

treuflach. Ist ${\displaystyle G}$ algebraisch und kommutativ, ist ${\displaystyle L}$ also eine Isogenie mit Kern ${\displaystyle G(\mathbb {F} _{q})}$, die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder ${\displaystyle G}$-Torsor trivial ist.[6]

Beispiele:

• Für ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{a}}$ erhält man den Artin-Schreier-Morphismus.
• Für ${\displaystyle G={\text{GL}}_{n}}$ erhält man die Aussage, dass jede zentrale einfache Algebra vom Rang ${\displaystyle n}$ über einem endlichen Körper eine Matrizenalgebra ist, für alle ${\displaystyle n}$ zusammengenommen also den Satz von Wedderburn.

Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen

Sei ${\displaystyle S}$ ein Schema und ${\displaystyle G/S}$ ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert ${\displaystyle G^{(p/S)}}$ als Unterschema des symmetrischen Produkts ${\displaystyle G^{p}/S_{p}}$ (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von ${\displaystyle G^{p}}$ arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus ${\displaystyle V_{G/S}\colon G^{(p/S)}\to G}$, die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung

${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots )}$

ist.

Es gilt:[7]

• ${\displaystyle V_{G/S}\circ F_{G/S}=p,\ \ F_{G/S}\circ V_{G/S}=p}$

(Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ in der Gruppe ${\displaystyle G}$ bzw. ${\displaystyle G^{(p)}}$).

• ${\displaystyle {\text{Lie}}(G/S)={\text{Lie}}(\ker(F_{G/S})/S)}$
• Ist ${\displaystyle G/S}$ ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema, dann vertauscht die Cartier-Dualität Frobenius und Verschiebung:

${\displaystyle F_{D(G)/S}=D(V_{G/S}),\ \ V_{D(G)/S}=D(F_{G/S})}$

Eine endliche kommutative Gruppe ${\displaystyle G}$ über einem Körper ist genau dann

• vom multiplikativen Typ, wenn ${\displaystyle V}$ ein Isomorphismus ist.
• étale, wenn ${\displaystyle F}$ ein Isomorphismus ist.
• infinitesimal, wenn ${\displaystyle F^{n}=0\colon G\to G^{(p^{n})}=((G^{(p)})\dots )^{(p)}}$ für ${\displaystyle n}$ groß.
• unipotent, wenn ${\displaystyle V^{n}=0\colon G^{(p^{n})}\to G}$ für ${\displaystyle n}$ groß.

Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle V}$ ist der Ausgangspunkt der Dieudonné-Theorie.

Beispiele:

• Für konstante Gruppen ist ${\displaystyle F={\text{id}}}$ und ${\displaystyle V=p}$.
• Für diagonalisierbare Gruppen ist ${\displaystyle F=p}$ und ${\displaystyle V={\text{id}}}$.
• Für ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{a}}$ ist ${\displaystyle F}$ der gewöhnliche Frobeniushomomorphismus ${\displaystyle \phi _{p}\colon A\to A}$ für Ringe ${\displaystyle A=\mathbb {G} _{a}(A)}$. (Da der Frobeniusmorphismus ohne Rückgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist, ist die Inklusion ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(A)\subseteq \mathbb {G} _{a}(A)}$ mit ihm kompatibel.) Die Verschiebung ist trivial: ${\displaystyle V=0}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ eine abelsche Varietät über einem Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$ (allgemeiner ein abelsches Schema), dann ist die folgende Sequenz exakt, wenn ${\displaystyle {}_{F}X}$ jeweils für den Kern des entsprechenden Morphismus ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ steht:[8]

${\displaystyle 0\to {}_{F^{n}}X\to {}_{p^{n}}X{\stackrel {F^{n}}{\longrightarrow }}{}_{V^{n}}X^{(p^{n})}\to 0}$

Arithmetischer und geometrischer Frobenius

Sei ${\displaystyle X}$ ein Schema über ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$, weiter ${\displaystyle {\bar {k}}}$ ein algebraischer Abschluss von ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle {\overline {X}}=X\times _{{\text{Spec }}k}{\text{Spec }}{\bar {k}}}$. Der Frobeniusautomorphismus ${\displaystyle \phi _{q}\in {\text{Gal}}({\bar {k}}/k)}$ wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus ${\displaystyle \phi _{q}^{-1}}$ geometrischer Frobenius. Weil ${\displaystyle {\overline {X}}}$ über ${\displaystyle k}$ definiert ist, ist ${\displaystyle {\overline {X}}^{(q/{\bar {k}})}\cong {\overline {X}}}$, und der relative Frobenius ist ${\displaystyle F_{{\overline {X}}/{\bar {k}}}=\phi _{q,X}\times {\text{id}}_{\bar {k}}}$. Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)

${\displaystyle \phi _{q,{\overline {X}}}=({\text{id}}_{X}\times \phi _{q,{\bar {k}}})\circ (\phi _{q,X}\times {\text{id}}_{\bar {k}})}$

Ist ${\displaystyle G}$ eine konstante Garbe auf ${\displaystyle {\overline {X}}_{\text{et}}}$, induziert ${\displaystyle \phi _{q,{\overline {X}}}}$ die Identität auf der Kohomologie von ${\displaystyle G}$, so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius ${\displaystyle \phi _{q,X}\times {\text{id}}_{\bar {k}}}$ mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente ${\displaystyle \phi _{q,X}}$ und der geometrische Frobenius ${\displaystyle {\text{id}}_{X}\times \phi _{q,{\bar {k}}}^{-1}}$ dieselbe Wirkung haben.[9]

Literatur

• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
• Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 978-0-7204-2034-0.
• Pierre Gabriel: Exposé VII_A. Étude infinitesimale des schémas en groupes. In: Michel Demazure, Alexander Grothendieck (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1962–1964 (SGA 3): Schémas en groupes. Tome 1: Propriétés générales des schémas en groupes. Springer, Berlin 1970, ISBN 978-3-540-05180-0.
• Christian Houzel: Exposé XV. Morphisme de Frobenius et rationalité des fonctions L. In: Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois-Marie 1965-66 (SGA 5): Cohomologie l-adique et Fonctions L (= Lecture Notes in Mathematics). Band 589. Springer, Berlin 1977, ISBN 3-540-08248-4.

Fußnoten

1. V §1 Definition 2 in: Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics. Algebra II. Chapters 4-7. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-00706-7.
2. Lang, VII §2
3. Peter Stevenhagen, Hendrik Lenstra: Chebotarëv and his density theorem. In: Mathematical Intelligencer. Band 18, Nr. 2, 1996, S. 26–37. Die Originalarbeit ist: Georg Ferdinand Frobenius: Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1896, S. 689–703.
4. Houzel, §1 Proposition 2
5. Gabriel, 4.2
6. Demazure-Gabriel, III §5, 7.2. Die Originalarbeit ist: Serge Lang: Algebraic Groups Over Finite Fields. In: Amer. J. Math. Band 78, Nr. 3, 1956, S. 555–563.
7. Demazure-Gabriel, II §7
8. Proposition 2.3 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online).
9. Houzel, §2 Proposition 2