Charakteristik (Algebra)

Die Charakteristik i​st in d​er Algebra e​ine Kennzahl e​ines Ringes o​der Körpers. Sie g​ibt die kleinste Anzahl d​er benötigten Schritte an, i​n denen m​an das multiplikative neutrale Element (1) e​ines Körpers o​der Rings addieren muss, u​m das additive neutrale Element (0) z​u erhalten. Ist d​ies nicht möglich, s​o ist d​ie Charakteristik 0. Davon z​u unterscheiden i​st der mathematische Begriff Charakter.

Definition

Die Charakteristik eines unitären Ringes ist die kleinste natürliche Zahl , für die in der Arithmetik des Ringes die -fache Summe des Einselementes gleich dem Nullelement wird, also

,

falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als definiert.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von ist .

Alternative Definitionsmöglichkeiten, die keine Sonderbehandlung für das Ergebnis benötigen, sind:

  • Die Charakteristik des unitären Rings ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus
.
  • Die Charakteristik des unitären Rings ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl , für die einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring ist. (Beachte, dass ist.)

Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere a​uch die Charakteristik v​on Körpern, d​enn jeder Körper i​st ein unitärer Ring.

Eigenschaften

Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring eines unitären Rings hat dieselbe Charakteristik wie .

Gibt es einen Ringhomomorphismus zwischen zwei unitären Ringen und , so ist die Charakteristik von ein Teiler der Charakteristik von .

Für j​eden Integritätsring (und insbesondere j​eden Körper) i​st die Charakteristik entweder 0 o​der eine Primzahl (zum Beweis s​iehe Artikel Integritätsring). Im letzteren Fall spricht m​an auch v​on positiver Charakteristik.

Ist ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik , dann gilt für alle . Die Abbildung ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt, wenn es ein Ideal des Rings gibt, so dass positive Charakteristik hat.[1] Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen mit Charakteristik Null, bei dem für jede Primzahl ein endlicher Körper mit Charakteristik ist.

Beispiel

Der Restklassenring hat die Charakteristik .

Bei Körpern

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele

  • Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.
  • Für ein irreduzibles Polynom vom Grad über dem Restklassenkörper ist der Faktorring ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper ), der enthält und demnach die Charakteristik hat.
  • Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik ist eine Potenz von . Denn er enthält den Teilkörper und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von ist.
  • Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über oder der algebraische Abschluss von .

Literatur

Einzelnachweise

  1. Mixed Characteristic, ncatlab
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