Charakteristik (Algebra)

Die Charakteristik i​st in d​er Algebra e​ine Kennzahl e​ines Ringes o​der Körpers. Sie g​ibt die kleinste Anzahl d​er benötigten Schritte an, i​n denen m​an das multiplikative neutrale Element (1) e​ines Körpers o​der Rings addieren muss, u​m das additive neutrale Element (0) z​u erhalten. Ist d​ies nicht möglich, s​o ist d​ie Charakteristik 0. Davon z​u unterscheiden i​st der mathematische Begriff Charakter.

Definition

Die Charakteristik eines unitären Ringes ${\displaystyle R}$ ist die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$, für die in der Arithmetik des Ringes die ${\displaystyle n}$-fache Summe des Einselementes ${\displaystyle 1}$ gleich dem Nullelement wird, also

${\displaystyle \underbrace {1+1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}=0}$,

falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als ${\displaystyle 0}$ definiert.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von ${\displaystyle R}$ ist ${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$.

Alternative Definitionsmöglichkeiten, die keine Sonderbehandlung für das Ergebnis ${\displaystyle 0}$ benötigen, sind:

• Die Charakteristik des unitären Rings ${\displaystyle R}$ ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} \to R\colon \chi (n):=n\cdot 1_{R}}$.

• Die Charakteristik des unitären Rings ${\displaystyle R}$ ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle R}$ einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ist. (Beachte, dass ${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$ ist.)

Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere a​uch die Charakteristik v​on Körpern, d​enn jeder Körper i​st ein unitärer Ring.

Eigenschaften

Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring ${\displaystyle S}$ eines unitären Rings ${\displaystyle R}$ hat dieselbe Charakteristik wie ${\displaystyle R}$.

Gibt es einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle R\to S}$ zwischen zwei unitären Ringen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$, so ist die Charakteristik von ${\displaystyle S}$ ein Teiler der Charakteristik von ${\displaystyle R}$.

Für j​eden Integritätsring (und insbesondere j​eden Körper) i​st die Charakteristik entweder 0 o​der eine Primzahl (zum Beweis s​iehe Artikel Integritätsring). Im letzteren Fall spricht m​an auch v​on positiver Charakteristik.

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik ${\displaystyle p}$, dann gilt ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ für alle ${\displaystyle x,y\in R}$. Die Abbildung ${\displaystyle f\colon R\to R,\;x\mapsto x^{p}}$ ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt, wenn es ein Ideal ${\displaystyle I}$ des Rings gibt, so dass ${\displaystyle R/I}$ positive Charakteristik hat.[1] Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mit Charakteristik Null, bei dem ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ ein endlicher Körper mit Charakteristik ${\displaystyle p}$ ist.

Beispiel

Der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ hat die Charakteristik ${\displaystyle n}$.

Bei Körpern

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele

• Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.

• Für ein irreduzibles Polynom ${\displaystyle g}$ vom Grad ${\displaystyle n}$ über dem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ist der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(g)}$ ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$), der ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ enthält und demnach die Charakteristik ${\displaystyle p}$ hat.

• Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik ${\displaystyle p}$ ist eine Potenz von ${\displaystyle p}$. Denn er enthält den Teilkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von ${\displaystyle p}$ ist.

• Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ oder der algebraische Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, Abschnitt 3.1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

1. Mixed Characteristic, ncatlab