Artinsches Reziprozitätsgesetz

Das Artinsche Reziprozitätsgesetz (nach Emil Artin) umfasste historisch gesehen a​lle schon vorher bekannten Reziprozitätsgesetze w​ie das quadratische Reziprozitätsgesetz. Es besagt, d​ass ein Quotient e​iner verallgemeinerten Idealklassengruppe e​iner abelschen Körpererweiterung isomorph z​ur Galoisgruppe dieser Erweiterung ist.

Das Artinsche Reziprozitätsgesetz i​st ein wesentlicher Schritt a​uf dem Weg z​ur Lösung d​es neunten Hilbertschen Problems u​nd wird w​egen seiner Bedeutung a​uch Hauptsatz d​er Klassenkörpertheorie genannt.

Genauer k​ann man e​s wie f​olgt formulieren:

${\displaystyle I({\mathfrak {m}})/P_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {N}}({\mathfrak {m}})\simeq G(K/k)}$

Dabei ist ${\displaystyle I({\mathfrak {m}})}$ die Menge der zu dem Erklärungsmodul ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilerfremden Ideale von ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {m}})}$ die Gruppe der Normen von gebrochenen Idealen in ${\displaystyle K}$ teilerfremd zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ und ${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$ die Untergruppe von ${\displaystyle P}$ (Gruppe der gebrochenen Hauptideale), die aus den gebrochenen Hauptidealen ${\displaystyle (\alpha )}$ besteht mit ${\displaystyle \alpha \in k_{\mathfrak {m}}}$, wobei ${\displaystyle k_{\mathfrak {m}}}$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${\displaystyle k^{\times }}$ ist. Der Erklärungsmodul ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ muss dabei durch alle verzweigten Primideale teilbar sein.

Adeletheoretisch k​ann man e​s so formulieren:

${\displaystyle H^{3}(G(K/k),\mathbb {A} _{K})\simeq G(K/k)}$

Weblinks

• Artin reciprocity law, Ncat Labs