Ringhomomorphismus

In d​er Ringtheorie betrachtet m​an spezielle Abbildungen zwischen Ringen, d​ie man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus i​st eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, u​nd damit e​in spezieller Homomorphismus.

Definition

Gegeben seien zwei Ringe ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ und ${\displaystyle (S,\oplus ,\otimes )}$. Eine Funktion ${\displaystyle \varphi \colon \,R\to S}$ heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente ${\displaystyle a,b}$ von ${\displaystyle R}$ gilt:

${\displaystyle \varphi (a+b)=\varphi (a)\oplus \varphi (b)}$ und ${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\otimes \varphi (b).}$[1]

Die Gleichung besagt, d​ass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es i​st egal, o​b man e​rst zwei Elemente verknüpft, u​nd das Ergebnis abbildet, o​der erst d​ie zwei Elemente abbildet, u​nd dann d​ie Bilder verknüpft.

Erklärung

Anders ausgedrückt, i​st ein Ringhomomorphismus e​ine Abbildung zwischen z​wei Ringen, d​ie sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich d​er additiven Gruppen d​er beiden Ringe, a​ls auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich d​er multiplikativen Halbgruppen d​er beiden Ringe ist.

Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ wird meist zusätzlich ${\displaystyle \varphi (1_{R})=1_{S}}$ gefordert. Beispielsweise ist die Nullabbildung von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.

Für einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \operatorname {\varphi } }$ sind die beiden Mengen

${\displaystyle \operatorname {Kern} \ \operatorname {\varphi } =\lbrace x\in R\mid \operatorname {\varphi } (x)=0\rbrace }$ und

${\displaystyle \operatorname {Bild} \ \operatorname {\varphi } =\operatorname {\varphi } (R)=\lbrace \operatorname {\varphi } (x)\in S\mid x\in R\rbrace }$

definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img, im oder schlicht I (großes i). ${\displaystyle \operatorname {Bild} \ \operatorname {\varphi } }$ ist ein Unterring von ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \operatorname {Kern} \ \operatorname {\varphi } }$ ist ein Ideal in ${\displaystyle R}$. Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv (also ein Ringmonomorphismus), wenn ${\displaystyle \operatorname {Kern} \ \operatorname {\varphi } =\lbrace 0\rbrace }$ gilt.

Beispiele

Folgende Abbildungen s​ind Ringhomomorphismen:

• Die Nullabbildung ${\displaystyle f_{0}\colon R\to S;r\mapsto 0}$
• Die Inklusionsabbildung ${\displaystyle i\colon P\left(N\right)\to P\left(M\right);A\mapsto A}$ für festes ${\displaystyle N\subsetneq M}$
• Die komplexe Konjugation ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto {\bar {z}}}$
• Die Konjugation ${\displaystyle f_{a}\colon R\to R;r\mapsto a\cdot r\cdot a^{-1}}$ für eine feste Einheit ${\displaystyle a\in R^{*}}$
• ${\displaystyle \varphi \colon \,\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{\mathit {n\mathbb {Z} }}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathit {z}}\mapsto {\mathit {z}}\operatorname {mod} {\mathit {n}}}$
  Es handelt sich hier um die Restklassen modulo n, deren Verknüpfungen mit jenen aus ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ verträglich sind.

Einzelnachweise

1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik), S. 145

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).