Abelsche Erweiterung

Im mathematischen Teilgebiet d​er Algebra i​st eine abelsche Erweiterung e​ine galoissche Körpererweiterung m​it abelscher Galoisgruppe. Im Spezialfall e​iner zyklischen Galoisgruppe l​iegt eine zyklische Erweiterung vor.

Die Klassenkörpertheorie beschreibt d​ie abelschen Erweiterungen v​on Zahlkörpern, Funktionenkörpern v​on algebraischen Kurven über endlichen Körpern u​nd lokalen Körpern.

Erweiterungen, die durch Adjunktion von Einheitswurzeln hervorgehen, sind abelsch, also beispielsweise alle algebraischen Erweiterungen endlicher Körper. Wenn ein Körper ${\displaystyle K}$ bereits eine primitive ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel enthält und die Charakteristik ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle K}$ kein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, so ist auch jede Erweiterung durch Adjunktion einer ${\displaystyle n}$-ten Wurzel eines Elementes von ${\displaystyle K}$ abelsch, genannt Kummer-Erweiterung. Adjungiert man alle ${\displaystyle n}$-ten Wurzeln eines Elements, so ist die Erweiterung im Allgemeinen nicht mehr abelsch, sondern ein semidirektes Produkt, da die Galoisgruppe auf den Wurzeln und den ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln operiert. Die Kummer-Theorie beschreibt die abelschen Erweiterungen eines Körpers, und der Satz von Kronecker-Weber besagt, dass für ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ die abelschen Erweiterungen genau die sind, die in den Kreisteilungskörpern enthalten sind.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Abelian Extension. In: MathWorld (englisch).