Verzweigung (Algebra)

Verzweigung i​st ein mathematischer Begriff, d​er die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie u​nd komplexe Analysis miteinander verbindet.

Namengebendes Beispiel

Es sei ${\displaystyle n>1}$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ die Funktion ${\displaystyle z\mapsto w=z^{n}}$. Ist nun ${\displaystyle w\neq 0}$ und ${\displaystyle U}$ eine (hinreichend kleine) Umgebung von ${\displaystyle w}$, so besteht das Urbild von ${\displaystyle U}$ aus ${\displaystyle n}$ Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um ${\displaystyle 2\pi /n}$, also Multiplikation mit einer ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich ${\displaystyle w\to 0}$, so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für ${\displaystyle w_{0}=0}$ zu einem einzigen Urbild ${\displaystyle \{0\}}$ zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die ${\displaystyle n}$ Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)

Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun ${\displaystyle g(w)}$ eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat ${\displaystyle g}$ bei 0 eine ${\displaystyle k}$-fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion

${\displaystyle f^{*}(g)=g\circ f,\quad z\mapsto g(z^{n})}$

eine ${\displaystyle nk}$-fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus

${\displaystyle f^{*}\colon \mathbb {C} \{w\}\to \mathbb {C} \{z\},\quad w\mapsto z^{n}.}$

(Dabei bezeichnet ${\displaystyle \mathbb {C} \{w\}}$ den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt

${\displaystyle \operatorname {ord} _{z=0}f^{*}(g)=n\cdot \operatorname {ord} _{w=0}g.}$

Diese Eigenschaft i​st charakteristisch für Verzweigungspunkte.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung ${\displaystyle v\colon K^{\times }\to \mathbb {R} }$. Weiter seien

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{x\in K\mid v(x)\geq 0\}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}=\{x\in K\mid v(x)>0\}}$

der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \pi _{K}}$ eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$, und ${\displaystyle \kappa ={\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}_{K}}$ der Restklassenkörper. Weiter sei ${\displaystyle L}$ eine endliche Erweiterung von ${\displaystyle K}$ mit diskreter Bewertung ${\displaystyle w\colon L^{\times }\to \mathbb {R} }$, die ${\displaystyle v}$ fortsetzt, d. h. ${\displaystyle w|_{K}=v}$. Schließlich seien ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {m}}_{L},\pi _{L},\lambda }$ analog zu oben.

Der Verzweigungsindex von ${\displaystyle L/K}$ ist definiert als

${\displaystyle e_{w/v}={\frac {v(\pi _{K})}{w(\pi _{L})}}=(w(L^{\times }):v(K^{\times }))}$

Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad ${\displaystyle f_{w/v}=[\lambda :\kappa ]}$.

Eigenschaften

• Ist die Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ separabel, und durchläuft ${\displaystyle w}$ alle möglichen Fortsetzungen von ${\displaystyle v}$, so gilt die fundamentale Gleichung[1]

${\displaystyle \sum _{w/v}e_{w/v}f_{w/v}=[L:K].}$

• Ist ${\displaystyle K}$ darüber hinaus vollständig, so ist ${\displaystyle w}$ eindeutig bestimmt[2] als

${\displaystyle w(x)={\frac {1}{[L:K]}}v(N_{L/K}(x)),}$

und es gilt[3]

${\displaystyle e_{w/v}f_{w/v}=[L:K].}$

• Es seien nun ${\displaystyle K}$ vollständig und ${\displaystyle L/K}$ galoissch, und außerdem sei ${\displaystyle \lambda /\kappa }$ separabel. (Diese Voraussetzungen sind beispielsweise für lokale Körper erfüllt.) Dann ist ${\displaystyle \lambda /\kappa }$ sogar galoissch, und es gibt eine kurze exakte Sequenz[4]

${\displaystyle 1\to I\to \mathrm {Gal} (L/K)\to \mathrm {Gal} (\lambda /\kappa )\to 1;}$

dabei bezeichnet man den Kern ${\displaystyle I}$ als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper ${\displaystyle T}$ ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung[5] von ${\displaystyle L/K}$, und im Fall endlicher Erweiterungen gilt

${\displaystyle [L:T]=\#I=e,\quad [T:K]=f.}$

Insbesondere gilt: Ist ${\displaystyle L/K}$ unverzweigt, so ist

${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)\cong \mathrm {Gal} (\lambda /\kappa ).}$

Ist ${\displaystyle K^{\mathrm {nr} }}$ die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}$ von ${\displaystyle K}$), so gilt entsprechend

${\displaystyle \mathrm {Gal} (K^{\mathrm {nr} }/K)\cong \mathrm {Gal} (\kappa ^{\mathrm {sep} }/\kappa ).}$

Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$, hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\kappa ^{\mathrm {sep} }/\kappa )}$ im Frobenius-Automorphismus

${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$ mit ${\displaystyle q=\#\kappa }$

einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in ${\displaystyle \mathrm {Gal} (K^{\mathrm {nr} }/K)}$ ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Es sei ${\displaystyle A}$ ein Dedekindring mit Quotientenkörper ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L}$ eine endliche separable Erweiterung von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle B}$ der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle L}$; ${\displaystyle B}$ ist wieder ein Dedekindring.[6]

Einer der wichtigsten Spezialfälle ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, ${\displaystyle L}$ ein Zahlkörper und ${\displaystyle B}$ sein Ganzheitsring.

Weiter sei ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ein maximales Ideal von ${\displaystyle A}$. Dann lässt sich ${\displaystyle {\mathfrak {p}}B}$ auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primidealen von ${\displaystyle B}$ schreiben:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}B={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{k}^{e_{k}}.}$

Die Zahlen ${\displaystyle e_{i}}$ heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen ${\displaystyle f_{i}=[B/{\mathfrak {P}}_{i}:A/{\mathfrak {p}}]}$ Trägheitsgrade.

• Ist ${\displaystyle e_{i}=1}$ und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}}$ unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörperweiterung stets separabel.)
• Ist ${\displaystyle f_{i}=1}$, so heißt ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}}$ rein verzweigt.
• Sind alle ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}}$ unverzweigt, so heißt ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ unverzweigt. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
• Sind alle Primideale (ungleich null) von ${\displaystyle K}$ unverzweigt, so heißt die Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ unverzweigt.

Eigenschaften

• Ein Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ von ${\displaystyle L}$ über einem Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ von ${\displaystyle K}$ ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ mit den durch ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
• Es gilt die fundamentale Gleichung[7]

${\displaystyle [L:K]=\sum _{i=1}^{k}e_{i}f_{i}.}$

• Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in ${\displaystyle K}$.[8] Ein Primideal in ${\displaystyle K}$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt;[9] ein Primideal in ${\displaystyle L}$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.[10]
• Die einzige unverzweigte Erweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ selbst.[11]
• Ist ${\displaystyle L/K}$ eine Galoiserweiterung globaler Körper und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ einen Frobenius-Automorphismus ${\displaystyle \varphi _{\mathfrak {P}}\in \mathrm {Gal} (L/K)}$, der die Zerlegungsgruppe von ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.[12]

Beispiel

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring i​st der Ring d​er Eisensteinzahlen. Betrachtet m​an sie, w​ie üblich, a​ls Erweiterung d​er ganzen Zahlen, d​ann ist h​ier genau d​as von d​er Primzahl 3 (im Ring d​er ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

Unverzweigte Schemamorphismen

Es seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Schemata und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt ${\displaystyle f}$ unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: [13]

• ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}=0}$
• Für einen (und damit für jeden) Morphismus ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ ist

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}^{1}\to \Omega _{X/Z}^{1}}$

surjektiv.

• Die Fasern von ${\displaystyle f}$ über Punkten ${\displaystyle y\in Y}$ sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von ${\displaystyle \kappa (y)}$.
• Die Diagonale ${\displaystyle X\to X\times _{Y}X}$ ist eine offene Einbettung.
• Ist ${\displaystyle T}$ ein affines Schema und ${\displaystyle T_{0}}$ ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{Y}(T,X)\to \mathrm {Hom} _{Y}(T_{0},X)}$

injektiv.

Der Morphismus ${\displaystyle f}$ heißt unverzweigt im Punkt ${\displaystyle x\in X}$, wenn es eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ gibt, so dass ${\displaystyle f|_{U}}$ unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt ${\displaystyle x}$ kann auch anders charakterisiert werden (es sei ${\displaystyle y=f(x)}$):[14]

• ${\displaystyle \Omega _{X/Y,x}^{1}=0}$
• Die Diagonale ${\displaystyle X\to X\times _{Y}X}$ ist ein lokaler Isomorphismus bei ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{X,x}}$ ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von ${\displaystyle \kappa (y)}$ ist.

Die Unverzweigtheit von ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle x}$ hängt nur von der Faser ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ab.

Eigenschaften

• Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.[15]
• Ist ${\displaystyle Y}$ zusammenhängend und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von ${\displaystyle f}$ eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle X}$, die durch ${\displaystyle f}$ isomorph auf ${\displaystyle Y}$ abgebildet werden.[16]

Bedeutung

Algebraische Geometrie

Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über einem diskret bewerteten Körper ${\displaystyle K}$ mit Bewertungsring ${\displaystyle V}$, so werden häufig Modelle von ${\displaystyle X}$ über ${\displaystyle V}$ betrachtet, d. h. Schemata ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ über ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle X\cong {\mathcal {X}}\otimes _{V}K}$. Ist nun ${\displaystyle L/K}$ eine unverzweigte Erweiterung und ${\displaystyle W}$ der Bewertungsring von ${\displaystyle L}$, so ist der Morphismus ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,W\to \mathrm {Spec} \,V}$ und damit auch der Morphismus ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{W}:={\mathcal {X}}\otimes _{V}W\to {\mathcal {X}}}$ étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ auf das Modell ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{W}}$ von ${\displaystyle X_{L}}$.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
• A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l’IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

Quellen

1. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173
2. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150
3. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157
4. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181
5. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182
6. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47
7. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48
8. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52
9. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213
10. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210
11. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218
12. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.
13. EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1
14. EGA IV, 17.4.1
15. EGA IV, 17.4.3
16. EGA IV, 17.4.9