Endomorphismus

In der universellen Algebra ist ein Endomorphismus (von griechisch ἔνδον éndon ‚innen‘ und μορφή morphē ‚Gestalt‘, ‚Form‘) ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to A}$ einer mathematischen Struktur ${\displaystyle A}$ in sich selbst. Ist ${\displaystyle f}$ zusätzlich ein Isomorphismus, wird er auch Automorphismus genannt.

In d​er Kategorientheorie heißt j​eder Morphismus, dessen Quelle u​nd Ziel übereinstimmen, e​in Endomorphismus d​es fraglichen Objektes.

Die Gesamtheit der Endomorphismen eines Objektes ${\displaystyle A}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {End} (A)}$ bezeichnet und bildet stets ein Monoid (das Endomorphismenmonoid oder die Endomorphismenhalbgruppe), in additiven Kategorien sogar einen (unitären) Ring, den Endomorphismenring.

Definition

Algebraische Strukturen

Sei ${\displaystyle (A,(f_{i}))}$ eine algebraische Struktur, also eine nichtleere Menge ${\displaystyle A}$ zusammen mit einer endlichen Anzahl an Verknüpfungen ${\displaystyle f_{i}}$ mit entsprechenden Stelligkeiten ${\displaystyle \sigma _{i}}$. Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise ein Vektorraum ${\displaystyle (A,(+,\cdot ))}$, eine Gruppe ${\displaystyle (A,*)}$ oder ein Ring ${\displaystyle (A,(+,*))}$ sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Endomorphismus ${\displaystyle \phi \colon A\to A}$ eine Abbildung der Menge ${\displaystyle A}$ auf sich selbst, die ein Homomorphismus ist, das heißt, es gilt

${\displaystyle \phi \left(f_{i}(a_{1},\dotsc ,a_{\sigma _{i}})\right)=f_{i}(\phi (a_{1}),\dotsc ,\phi (a_{\sigma _{i}}))}$

für alle ${\displaystyle i}$ und alle ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{\sigma _{i}}\in A}$.

Kategorientheorie

Sei ${\displaystyle X}$ ein Objekt einer Kategorie. Ein Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to X}$, der auf einem Objekt ${\displaystyle X}$ operiert, heißt Endomorphismus.

Für Kategorien v​on Homomorphismen zwischen algebraischen Strukturen i​st die Definition äquivalent z​u der i​m vorherigen Abschnitt.

Spezielle Strukturen

Allgemeines

In der linearen Algebra ist ein Endomorphismus eines ${\displaystyle K}$-Vektorraumes ${\displaystyle V}$ eine ${\displaystyle K}$-lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$. Dabei bedeutet ${\displaystyle K}$-linear (oder auch einfach linear, wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist), dass die Gleichung

${\displaystyle f\left(ax+y\right)=af\left(x\right)+f\left(y\right)}$

für alle ${\displaystyle a\in K}$ und alle ${\displaystyle x,y\in V}$ erfüllt. Zusammen mit der Addition der Bilder und der Komposition als Multiplikation bildet die Menge aller Endomorphismen einen Ring, den man den Endomorphismenring nennt. Werden die linearen Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so erhält man mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Matrizenring, der isomorph zum Endomorphismenring ist.

Ist d​er zugrundeliegende Vektorraum e​in topologischer Vektorraum u​nd betrachtet m​an den Vektorraum d​er stetigen Endomorphismen, d​er im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume i​m Allgemeinen e​in echter Unterraum d​es Endomorphismenraums ist, s​o kann m​an auf diesem Vektorraum a​ller stetiger Endomorphismen e​ine Topologie induzieren, sodass d​ie Addition u​nd die Multiplikation d​es Rings stetig sind. Somit i​st der Endomorphismenring e​in topologischer Ring.

Beispiel

Die Ableitung ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ ist auf dem Vektorraum der Polynome ${\displaystyle V=\mathbb {R} [x]_{3}}$ maximal dritten Grades mit reellen Koeffizienten ein Endomorphismus. Als Basis von ${\displaystyle V}$ wählt man die monomiale Basis ${\displaystyle \textstyle \left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$. Diese kann man isomorph auf die kanonische Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ abbilden, durch ${\displaystyle \Phi \left(x^{i}\right)=(0,\dotsc ,1,\dotsc ,0)^{t}\in \mathbb {R} ^{4}}$. Die 1 steht dabei an der i-ten Stelle des 4-Tupels. Also kann man jedes Polynom aus ${\displaystyle \mathbb {R} [x]_{3}}$ als 4-Tupel darstellen, so ist zum Beispiel ${\displaystyle \Phi \left(4x^{3}+2x+5\right)=(4,0,2,5)^{t}}$. Nun kann man ${\displaystyle \Phi }$ mit ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ verketten und erhält für das Differential eine Matrixschreibweise:

${\displaystyle \Phi \circ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\circ \Phi ^{-1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\3&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$.

Wendet man diese Matrix auf obiges Beispiel ${\displaystyle (4,0,2,5)^{t}}$ an, so erhält man ${\displaystyle (0,12,0,2)^{t}}$, was dem Polynom ${\displaystyle 12x^{2}+2}$ entspricht; das hätte man auch durch direktes Anwenden der Ableitung erhalten können.

Gruppen

Ein Endomorphismus auf einer Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \phi }$ von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle G}$, das heißt für ${\displaystyle \phi \colon G\to G}$ gilt ${\displaystyle \phi (gh)=\phi (g)\phi (h)}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G}$.

Siehe auch

• Monomorphismus
• Epimorphismus

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0.
• M. Sh. Tsalenko: Endomorphism. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).