Spektrum eines Ringes

Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist die Menge aller Primideale in ${\displaystyle R}$, in Zeichen ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{P\mid P\subseteq R{\text{ mit }}P{\text{ Primideal}}\}}$. Er bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definition

Für einen Ring ${\displaystyle R}$ ist das Spektrum ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:

• Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von ${\displaystyle R}$.
• Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen

${\displaystyle D(f)=\{P\in \operatorname {Spec} R\mid f\notin P\}}$

für Elemente ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle R}$ gegeben ist.

• Die Schnitte der Strukturgarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$ über ${\displaystyle D(f)}$ sind gleich der Lokalisierung ${\displaystyle R_{f}}$. Insbesondere ist

${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R})=R}$.

Lokal geringte Räume, d​ie isomorph z​um Spektrum e​ines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.

Beispiele

• Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen ${\displaystyle S}$; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus ${\displaystyle S}$ enthalten.
• Der ${\displaystyle n}$-dimensionale affine Raum über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist das affine Schema ${\displaystyle \operatorname {Spec} R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$. Ist ${\displaystyle R=k}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum ${\displaystyle k^{n}}$ (Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).
• Sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorff-Raum und sei ${\displaystyle R}$ der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in ${\displaystyle X}$. Man kann auf diese Weise den Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ topologisch in den (im Allgemeinen nichthausdorffschen) Raum ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ einbetten. Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand-Spektrum einer Banachalgebra, wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird.

Eigenschaften

• Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$ in einem Punkt ${\displaystyle P}$ ist der lokale Ring ${\displaystyle R_{P}}$.
• Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
• Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\varphi )\colon \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$ stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
• Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\varphi )}$ für einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$.

Siehe auch

• Spektrum (Operatortheorie)

Literatur

• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9