Diedergruppe

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ als semidirektes Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ erklärt (siehe unten) und enthält daher genau ${\displaystyle 2n}$ Elemente. Für ${\displaystyle n\geq 3}$ ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige ${\displaystyle n}$-Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung ${\displaystyle 2}$) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Diese Schneeflocke hat dieselbe Symmetriegruppe wie ein regelmäßiges Sechseck, die Diedergruppe D_6.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise ${\displaystyle D_{n}}$, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch ${\displaystyle D_{2n}}$, um stattdessen die Ordnung ${\displaystyle 2n}$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht ${\displaystyle D_{n}}$ für die Diedergruppe mit ${\displaystyle 2n}$ Elementen.

Definition

Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ kann für ${\displaystyle n\geq 3}$ als die Isometriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Spiegelungen, hat also insgesamt ${\displaystyle 2n}$ Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe ${\displaystyle D_{n}}$ dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

In den Fällen ${\displaystyle n=1}$ und ${\displaystyle n=2}$ führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle ${\displaystyle n\geq 1}$.

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{3}}$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist. ${\displaystyle D_{4}}$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

${\displaystyle D_{2}}$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). ${\displaystyle D_{1}}$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

${\displaystyle D_{2}}$ ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. ${\displaystyle D_{1}}$ ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe ${\displaystyle D_{8}}$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges ${\displaystyle n}$-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt ${\displaystyle O}$ eines Koordinatensystems, irgendeine seiner ${\displaystyle n}$ Symmetrieachsen als ${\displaystyle x}$-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als ${\displaystyle y}$-Achse. Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei ${\displaystyle r_{k}}$ die Drehung um ${\displaystyle O}$ um den Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}:=k\cdot 2\pi /n}$ und ${\displaystyle s_{k}}$ die Spiegelung an der Geraden durch ${\displaystyle O}$, die im Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n}$ gegenüber der positiven ${\displaystyle x}$-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

${\displaystyle r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\qquad {\text{und}}\qquad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}}$

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

• ${\displaystyle r_{k+n}=r_{k}}$ und ${\displaystyle s_{k+n}=s_{k}}$. Daher können wir uns auf ${\displaystyle k=0,1,2,\dotsc ,n-1}$ beschränken.
• ${\displaystyle r_{0}}$, die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 0}$, ist die Identität.
• ${\displaystyle r_{1}}$ ist die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\pi /n}$ und es gilt ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}$ für alle ${\displaystyle k}$.
• ${\displaystyle s_{0}}$ ist die Spiegelung an der ${\displaystyle x}$-Achse und es gilt ${\displaystyle s_{k}=r_{k}s_{0}}$ für alle ${\displaystyle k}$.

Wenn ${\displaystyle n}$ ungerade ist, dann verläuft jede der ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades ${\displaystyle n}$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\s_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Diese Drehungen u​nd Spiegelungen lassen s​ich bildlich w​ie folgt darstellen:

Zykel-Graph von ${\displaystyle D_{4}}$:
${\displaystyle a}$ ist die Drehung um 90° im Uhrzeigersinn.
${\displaystyle b}$ ist die Spiegelung an der vertikalen Mittelachse.

${\displaystyle r_{0}}$ (Drehung um 0°)	${\displaystyle r_{1}}$ (Drehung um 90°)	${\displaystyle r_{2}}$ (Drehung um 180°)	${\displaystyle r_{3}}$ (Drehung um 270°)
${\displaystyle s_{0}}$ (Spiegelung an der x-Achse)	${\displaystyle s_{1}}$ (Spiegelung an der Diagonale y=x)	${\displaystyle s_{2}}$ (Spiegelung an der y-Achse)	${\displaystyle s_{3}}$ (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ auf den Eckpunkten ${\displaystyle 1,2,3,4}$, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{4}}$, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \tau \colon D_{4}\to S_{4}}$. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (r_{0})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{1})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{2})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{3})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}\\\tau (s_{0})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{1})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{2})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{3})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}\end{aligned}}}$

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ auf den Eckpunkten ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}}$ eine treue Darstellung ${\displaystyle \tau \colon D_{n}\to S_{n}}$. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

${\displaystyle \tau (r_{1})=(1,2,3,\dotsc ,n).}$

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die ${\displaystyle P_{1}}$ auf ${\displaystyle P_{2}}$ abbildet, ${\displaystyle P_{2}}$ auf ${\displaystyle P_{3}}$ und so weiter, bis schließlich ${\displaystyle P_{n}}$ auf ${\displaystyle P_{1}}$ abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}$ für alle ${\displaystyle k}$. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch ${\displaystyle P_{n}}$ erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

${\displaystyle \tau (s_{1})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\bigl \lfloor }{\tfrac {n-1}{2}}{\bigl \rfloor },{\bigl \lfloor }{\tfrac {n+2}{2}}{\bigl \rfloor }\right)}$

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ (die jeder reellen Zahl ${\displaystyle x}$ die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als ${\displaystyle x}$ ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation ${\displaystyle s_{k+1}=r_{k}s_{1}}$ für alle ${\displaystyle k}$ (mit ${\displaystyle s_{4}=s_{0}}$).

Erzeuger und Relationen

Alle ${\displaystyle n}$ Drehungen werden von ${\displaystyle r=r_{1}}$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ und demnach von Index ${\displaystyle 2}$. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel ${\displaystyle s=s_{0}}$, und so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle ,}$

wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ist.

Cayleygraph der Diedergruppe ${\displaystyle D_{5}}$

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen ${\displaystyle \alpha }$, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\alpha }$. Das bedeutet, dass die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel ${\displaystyle s_{0}}$ und ${\displaystyle s_{1}}$, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\mid s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle .}$

Dies i​st der einfachste Fall e​iner Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ gilt außerdem:

1. ${\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{i+j}}$
2. ${\displaystyle r_{i}s_{j}=s_{i+j}}$
3. ${\displaystyle s_{i}r_{j}=s_{i-j}}$
4. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=r_{i-j}}$

Dabei werden die Indizes jeweils modulo ${\displaystyle n}$ betrachtet (${\displaystyle r_{i+n}=r_{i}}$ und ${\displaystyle s_{i+n}=s_{i}}$).

Anwendungen

Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension ${\displaystyle 2}$ entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung

Die d​urch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung w​ird bei Prüfsummenverfahren a​ls Alternative z​u diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen d​ie deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.[1]

Siehe auch

• Unendliche Diedergruppe

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
• Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.

Einzelnachweise

1. Jörg Michael: Blütenrein. Prüfziffernverfahren auf der Basis von Diedergruppen. In: c’t 4/1997. S. 448.