Quasi-Isometrie

Der Begriff d​er Quasi-Isometrie d​ient in d​er Mathematik dazu, d​ie „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume z​u untersuchen. Er spielt i​n zahlreichen Gebieten d​er Geometrie, Analysis u​nd geometrischen Gruppentheorie e​ine wichtige Rolle, e​twa in d​er Theorie d​er hyperbolischen Gruppen o​der in Beweisen v​on Starrheitssätzen.

Definitionen

Seien und zwei metrische Räume. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung ist eine quasi-isometrische Einbettung, wenn es Konstanten und gibt, sodass

.

Die Abbildung heißt quasi-dicht, wenn eine Konstante existiert, sodass es für jedes ein gibt mit

Eine Quasi-Isometrie i​st eine quasi-dichte, quasi-isometrische Einbettung.

Zwei Abbildungen haben endlichen Abstand, falls .

Die Räume und heißen quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie gibt.[1]

Beispiele

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum i​st quasi-isometrisch z​um Punkt.

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf und . Man kann in obiger Definition , und setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen , einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Švarc-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) quasi-isometrisch zu . (Siehe auch Satz von Švarc-Milnor.)

Mit erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung .

Eigenschaften

  • Die identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
  • Die Verkettung von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
  • Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
  • Zwei metrische Räume und sind genau dann quasi-isometrisch, wenn es quasi-isometrische Einbettungen und gibt, sodass sowohl und als auch und endlichen Abstand haben.[2]

Kategorien

Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen und .

Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen sind Äquivalenzklassen quasi-isometrischer Einbettungen. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben, und dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung , so ergeben die Definitionen

  • (Wohldefiniertheit!)

eine Kategorie. In dieser Kategorie s​ind die Isomorphismen g​enau die Äquivalenzklassen v​on Quasi-Isometrien. Die i​n dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe e​ines metrischen Raums heißt dessen Quasi-Isometrie-Gruppe.[3]

Literatur

Einzelnachweise

  1. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Definition 5.1.6
  2. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Proposition 5.1.10
  3. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, 5.1.12 und 5.1.13
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