Leere Summe

Die leere Summe i​st in d​er Mathematik d​er Sonderfall e​iner Summe m​it null Summanden. Der leeren Summe w​ird der Wert Null, d​as neutrale Element d​er Addition, zugewiesen. Das Gegenstück d​er leeren Summe für d​ie Multiplikation i​st das leere Produkt.

Definition

Eine Summe v​on Zahlen heißt leer, w​enn die Menge d​er Zahlen, über d​ie summiert wird, d​ie leere Menge ist. Das Resultat d​er leeren Summe w​ird als d​ie Zahl Null definiert. In d​er Summenschreibweise bedeutet dies

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=0}$,

wenn die Indexmenge ${\displaystyle I=\emptyset }$ ist. Insbesondere erhält man eine leere Summe, wenn bei einer endlichen Summe der Startindex ${\displaystyle m}$ größer als der Endindex ${\displaystyle n}$ ist. Es gilt also

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}=0}$,

wann immer ${\displaystyle m>n}$ ist, denn die Indexmenge ${\displaystyle I=\{j\in \mathbb {Z} \mid m\leq j\leq n\}}$ ist dann leer.[1][2] Da es genau eine Möglichkeit gibt, nichts zu addieren, spricht man auch von der leeren Summe.

Verallgemeinerungen

Summen sind nicht nur für Zahlen definiert, sondern auch in allgemeineren algebraischen Strukturen, wie beispielsweise Vektorräumen, Körpern, Ringen oder abelschen Gruppen. Die leere Summe von Elementen einer solchen algebraischen Struktur ergibt dann das neutrale Element der Struktur bezüglich der Addition. Beispielsweise ergibt die leere Summe von Vektoren ${\displaystyle v_{i}}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ den Nullvektor ${\displaystyle 0_{V}}$, das heißt

${\displaystyle \sum _{i\in \emptyset }v_{i}=0_{V}}$,

denn der Nullvektor stellt in ${\displaystyle V}$ gerade das neutrale Element bezüglich der Vektoraddition dar.[3]

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. Springer, 2009, ISBN 3-8348-0777-X.
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis. Gabler, 2012, ISBN 978-3-8348-0081-7.
• Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner: 12 × 12 Schlusselkonzepte Zur Mathematik. Springer, 2011, ISBN 3-8274-2298-1.

Weblinks

• pahio: empty sum. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. Springer, 2009, S. 90 f.
2. Liesen, Mehrmann: Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis. Gabler, 2012, S. 924.
3. Deiser, Lasser, Vogt, Werner: 12 × 12 Schlusselkonzepte Zur Mathematik. Springer, 2011, S. 114.