Multiindex
In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ein Tupel natürlicher Zahlen.
Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.
Konventionen der Multiindex-Schreibweise
In diesem Abschnitt seien jeweils -Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:
wobei und einen Differentialoperator bezeichnet.
Anwendungsbeispiele
Potenzreihe
Eine Mehrfachpotenzreihe lässt sich kurz schreiben als .
Potenzfunktion
Ist und sind , so gilt und .
Geometrische Reihe
Für gilt , wobei ist.
Binomischer Lehrsatz
Sind und ist , so gilt bzw. .
Multinomialtheorem
Für und ist bzw. , was sich kurz schreiben lässt als .
Leibniz-Regel
Ist und sind m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt
beziehungsweise
- .
Diese Identität heißt Leibniz-Regel.
Und sind m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist
- ,
wobei ist.
Cauchy-Produkt
Für Mehrfachpotenzreihen gilt .
Sind Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt , wobei ist.
Exponentialreihe
Für gilt .
Binomische Reihe
Sind und sind alle Komponenten von betragsmäßig , so gilt .
Cauchysche Integralformel
In mehreren Veränderlichen lässt sich die cauchysche Integralformel
kurz schreiben als
- ,
wobei sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung , wobei ist.
Taylor-Reihe
Ist eine analytische Funktion oder eine holomorphe Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe
entwickeln, wobei ein Multiindex ist.
Hurwitz-Identität
Für mit und gilt .
Dies verallgemeinert die Abelsche Identität .
Letztere erhält man im Fall .
Literatur
- Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.