Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale

Die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale, a​uch als englisch discrete-time Fourier transform, abgekürzt DTFT bezeichnet, i​st eine lineare Transformation a​us dem Bereich d​er Fourier-Analysis. Sie bildet e​in unendliches, zeitdiskretes Signal a​uf ein kontinuierliches, periodisches Frequenzspektrum ab, welches a​uch als Bildbereich bezeichnet wird. Die DTFT i​st mit d​er Diskreten Fourier-Transformation (DFT) verwandt, welche m​it diskreten Zeitsignalen u​nd diskreten Spektren arbeitet. Die DTFT unterscheidet s​ich von d​er DFT darin, d​ass sie e​in kontinuierliches Spektrum bildet, welches sich, u​nter Umständen, a​ls abschnittsweise geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt. Wie a​uch die DFT bildet d​ie DTFT i​m Bildbereich e​in periodisch fortgesetztes Frequenzspektrum, welches a​ls Spiegelspektrum bezeichnet wird.

Im Gegensatz z​ur DFT besitzt d​ie DTFT n​ur eine geringe Bedeutung i​n praktischen Anwendungen w​ie der digitalen Signalverarbeitung, primärer Anwendungsbereich l​iegt bei d​er theoretischen Signalanalyse.

Definition

Das Spektrum ${\displaystyle X(\omega )}$ eines abgetasteten (diskreten) Zeitsignals, repräsentiert als eine Folge ${\displaystyle x[n]}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ und der Abtastzeit ${\displaystyle t_{A}=1/f_{A}}$, ist:

${\displaystyle X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-\mathrm {j} \omega nt_{A}}=\mathrm {DTFT} \{x[n]\}}$

mit der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {j} }$ und der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$. Die inverse Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale über das Basisband ohne periodische Spektralanteile ist gegeben als:

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{\omega _{A}}}\int _{-\omega _{A}/2}^{\omega _{A}/2}X(\omega )\cdot e^{\mathrm {j} \omega nt_{A}}\,\mathrm {d} \omega =t_{A}\int _{-f_{A}/2}^{f_{A}/2}X(2\pi f)\cdot e^{\mathrm {j} 2\pi fnt_{A}}\,\mathrm {d} f=\mathrm {DTFT} ^{-1}\{X(\omega )\}}$

Um die Abhängigkeit von der Abtastzeit ${\displaystyle t_{A}}$ in den Ausdrücken zu vermeiden, wird das Spektrum auf die Abtastfrequenz ${\displaystyle f_{A}}$ normiert und mit der so normierten Kreisfrequenz

${\displaystyle \Omega =\omega \cdot t_{A}}$

lautet d​ie DTFT:

${\displaystyle X(\Omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-\mathrm {j} \Omega n}}$

und d​ie inverse DTFT:

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(\Omega )\cdot e^{\mathrm {j} \Omega n}\,\mathrm {d} \Omega }$

Eigenschaft

Einige wichtige Eigenschaften d​er Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale s​ind im Folgenden dargestellt.

Versatz

Die im Zeitbereich verschobene Folge ${\displaystyle x[n-n_{0}]}$ entspricht einer Phasendrehung (Modulation) im Spektralbereich:

${\displaystyle \mathrm {DTFT} \{x[n-n_{0}]\}=e^{-\mathrm {j} \Omega n_{0}}X[\Omega ]\,}$

Beweis:

${\displaystyle \mathrm {DTFT} \{x[n-n_{0}]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n-n_{0}]\,e^{-\mathrm {j} \Omega n}\,,\,mit:\,m=n-n_{0}\leftrightarrow n=m+n_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rightarrow \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\,e^{-\mathrm {j} \Omega [m+n_{0}]}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\,e^{-\mathrm {j} \Omega m}\cdot e^{-\mathrm {j} \Omega n_{0}}=e^{-\mathrm {j} \Omega n_{0}}\cdot \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\,e^{-\mathrm {j} \Omega m}\\&=e^{-\mathrm {j} \Omega n_{0}}\cdot \mathrm {DTFT} \{x[n]\}=e^{-\mathrm {j} \Omega n_{0}}X[\Omega ]\\\end{aligned}}}$

Analog dazu entspricht ein im Frequenzbereich verschobenes Spektrum ${\displaystyle Y[\Omega -\Omega _{0}]}$ einer Phasendrehung im Zeitbereich:

${\displaystyle \mathrm {DTFT} \{x[n]e^{\mathrm {j} \Omega _{0}n}\}=X[\Omega -\Omega _{0}]\,}$

Faltungseigenschaft

Die DTFT eines Produktes zweier Wertefolgen ${\displaystyle x[n]}$ und ${\displaystyle y[n]}$ entspricht der Faltung der Spektren:

${\displaystyle \mathrm {DTFT} \{x[n]\cdot y[n]\}={\frac {1}{2\pi }}X[\Omega ]*Y[\Omega ]\,}$

Umgekehrt entspricht d​er Faltung i​m Zeitbereich d​ie Multiplikation i​m Bildbereich:

${\displaystyle \mathrm {DTFT} \{x[n]*y[n]\}=X[\Omega ]\cdot Y[\Omega ]\,}$

Literatur

• Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. 10. Auflage. VDE-Verlag, 2011, ISBN 978-3-8007-3257-9.
• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.