Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung i​st ein mathematisches Objekt a​us der Distributionentheorie. Sie s​ind Lösungen e​iner bestimmten Klasse v​on inhomogenen partiellen Differentialgleichungen. Mit i​hrer Hilfe u​nd dem Faltungstheorem können spezielle Lösungen ähnlicher Differentialgleichungen berechnet werden. Nach d​em Satz v​on Malgrange-Ehrenpreis existiert z​u jedem linearen partiellen Differentialoperator m​it konstanten Koeffizienten e​ine Fundamentallösung.

Der Erstbeschreiber d​er Distributionentheorie Laurent Schwartz definierte a​uch als erster d​en Begriff d​er Fundamentallösung. Sie k​ann als Weiterentwicklung d​es älteren Begriffs d​er Greenschen Funktion verstanden werden. Diese Funktionen s​ind im allgemeineren Sinne besondere Lösungen v​on Randwertproblemen, d​ie ebenfalls m​it Hilfe d​er Faltung i​n spezielle Lösungen entsprechender inhomogener Randwertprobleme transformiert werden können.

Definition

Sei ${\displaystyle L}$ ein linearer Differentialoperator mit konstanten komplexen Koeffizienten. Dann heißt die Distribution ${\displaystyle G\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ Fundamentallösung von ${\displaystyle L}$, falls sie eine distributionelle Lösung der Gleichung

${\displaystyle LG=\delta }$

ist, wobei mit ${\displaystyle \delta }$ die Dirac'sche Delta-Distribution gemeint ist.

Lösen von inhomogenen Differentialgleichungen

Falls für einen linearen Differentialoperator ${\displaystyle L}$ eine Fundamentallösung ${\displaystyle G}$ bekannt ist, so erhält man eine Lösung ${\displaystyle u(x)}$ der Gleichung

${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ durch Faltung der Fundamentallösung ${\displaystyle G}$ mit der rechten Seite ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(x)=(G*f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(x-y)f(y)dy}$.

Methode zur Bestimmung der Fundamentallösung

Um mithilfe d​er Fundamentallösung e​ine inhomogene Lösung e​ines Anfangswert- o​der Randwertproblems z​u bestimmen, m​uss die Fundamentallösung selbst bestimmt werden. Dies kann, f​alls der Differentialoperator konstante Koeffizienten hat, m​it Hilfe d​er Fourier-Transformation

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)e^{-\mathrm {i} t\omega }\,\mathrm {d} t}$

beziehungsweise i​hrer Rücktransformation erreicht werden. Es g​ilt nämlich

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega {t}}\mathrm {d} \omega =f(t)&=Ly(t)\\&=L{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {y}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega {t}}\mathrm {d} \omega \\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}L(-\mathrm {i} \omega ){\hat {y}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega {t}}\mathrm {d} \omega \,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle L(\omega )}$ das Symbol von ${\displaystyle L}$ ist. Zusammen mit der Transferfunktion ${\displaystyle Y(-\mathrm {i} \omega ):={\tfrac {1}{L(-\mathrm {i} \omega )}}}$ gilt

${\displaystyle {\hat {y}}=Y(-\mathrm {i} \omega ){\hat {f}}}$,

fast überall. Da zudem noch ${\displaystyle {\hat {y}}=(2\pi )^{\frac {1}{2}}{\hat {G}}{\hat {f}}}$ gilt, folgt

${\displaystyle {\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot Y(-\mathrm {i} \omega )}$

beziehungsweise

${\displaystyle G(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{n}}Y(-\mathrm {i} \omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega {t}}\mathrm {d} \omega }$.

Tabelle von Fundamentallösungen

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über Fundamentallösungen von häufig auftretenden Differentialoperatoren, wobei ${\displaystyle \omega _{n}={\tfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$ den Flächeninhalt der Oberfläche der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel und ${\displaystyle \theta }$ die Heavisidesche Sprungfunktion bezeichnen.[1]

Differentialoperator	Fundamentallösung	Anwendungsfall
${\displaystyle \partial _{t}}$ (Zeitableitung)	${\displaystyle \theta (t)}$	(vgl. Delta-Distribution#Ableitung der Heaviside-Distribution)
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\gamma t}}$	konventionelle Langevin-Gleichung
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$	${\displaystyle \theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}{\frac {1}{\omega }}\sin(\omega t)}$ mit ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	eindimensionaler gedämpfter harmonischer Oszillator
${\displaystyle \Delta }$ (Laplace-Operator)	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}{\frac {1}{2\pi }}\ln {|x|}\ ,&n=2\\-{\frac {1}{(n-2)\,\omega _{n}}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}\ ,&n>2\,,\\\end{array}}\right.}$	Poisson-Gleichung
${\displaystyle \Delta +k^{2}}$ (Helmholtz-Operator)	${\displaystyle {\frac {-\mathrm {e} ^{-ik\|x\|}}{4\pi \|x\|}}}$	stationäre Schrödinger-Gleichung (${\displaystyle n=3}$)
${\displaystyle \square$ :={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta } (D’Alembert-Operator)	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {\|x\|}{c}})}{4\pi \|x\|}}}$	Wellengleichung (${\displaystyle n=3}$)
${\displaystyle \partial _{t}-a\Delta }$ (Wärmeleitungsoperator)	${\displaystyle \theta (t)\left({\frac {1}{4\pi at}}\right)^{n/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/(4at)}}$	Wärmeleitungsgleichung
${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ (Cauchy-Riemann-Operator)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{z}}}$ (als Distribution)	Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Siehe auch

• Parametrix, als Verallgemeinerung der Fundamentallösung
• Greensche Funktion, als Analogon zur Fundamentallösung für Anfangs- beziehungsweise Randwertprobleme

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

Einzelnachweise

1. einige Beispiele aus Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6