Euler-Klasse

In d​er Mathematik, genauer i​n der algebraischen Topologie u​nd in d​er Differentialgeometrie u​nd -topologie, i​st die Euler-Klasse e​in spezieller Typ v​on charakteristischen Klassen, d​ie orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie w​ird nach Leonhard Euler benannt, w​eil sie i​m Fall d​es Tangentialbündels e​iner Mannigfaltigkeit d​eren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie k​ann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: a​ls Hindernis für d​ie Existenz e​ines Schnittes o​hne Nullstellen, a​ls Pull-Back d​er Orientierungsklasse u​nter einem Schnitt o​der als Bild d​er Pfaffschen Determinante u​nter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel g​ibt es weitere äquivalente Definitionen.

Grundidee und Motivation

Die Euler-Klasse i​st eine charakteristische Klasse, a​lso eine topologische Invariante v​on orientierten Vektorbündeln: z​wei isomorphe orientierte Vektorbündel h​aben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt d​ie Euler-Klasse d​es Tangentialbündels d​ie Euler-Charakteristik d​er Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert e​in Hindernis für d​ie Existenz e​ines Schnittes o​hne Nullstellen. Insbesondere liefert d​ie Euler-Charakteristik e​iner geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit e​in Hindernis für d​ie Existenz e​ines Vektorfeldes o​hne Singularitäten.

Für e​inen auf e​iner Teilmenge d​es Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt k​ann man e​ine relative Euler-Klasse definieren, d​iese liefert e​in Hindernis für d​ie Fortsetzbarkeit d​es Schnittes o​hne Nullstellen a​uf die gesamte Basis.

Axiome

Die (relative) Euler-Klasse w​ird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, ${\displaystyle n}$-dimensionalen reellen Vektorbündel ${\displaystyle E\to X}$ mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt ${\displaystyle s\colon Y\to E}$ auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge ${\displaystyle Y\subset X}$ wird ein Element

${\displaystyle e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )}$

(bzw. ${\displaystyle e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$ falls ${\displaystyle Y=\emptyset }$) zugeordnet, so dass

• für jede stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon (X^{\prime },Y^{\prime })\to (X,Y)}$ gilt ${\displaystyle e(f^{*}E,f^{*}s)=f^{*}(e(E,s))}$
• ${\displaystyle e(E_{1}\oplus E_{2},s\oplus 0)=e(E_{1},s)\cup e(E_{2})}$
• für das tautologische komplexe Geradenbündel ${\displaystyle \gamma ^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$, aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist ${\displaystyle e(\gamma ^{1})\in H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )}$ ein Erzeuger von ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$ heißt die Euler-Klasse des Bündels ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )}$ heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt ${\displaystyle s}$.

Definition als Obstruktionsklasse

Für ein ${\displaystyle n}$-dimensionales orientiertes Vektorbündel ${\displaystyle E\to \vert K\vert }$ über der geometrischen Realisierung ${\displaystyle \vert K\vert }$ eines Simplizialkomplexes ${\displaystyle K}$ erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

${\displaystyle o_{n}(E)\in H^{n}(K;\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))}$

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das ${\displaystyle n}$-Skelett von ${\displaystyle K}$.

Die Koeffizientengruppe

${\displaystyle \pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))\simeq \pi _{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0)\simeq H_{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )\simeq H_{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )}$

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ und dieser Isomorphismus bildet ${\displaystyle o_{n}(E)}$ auf die Euler-Klasse ${\displaystyle e(E)\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )}$ ab.[1]

Definition mittels Orientierungsklasse

Für ein orientiertes ${\displaystyle n}$-dimensionales Vektorbündel ${\displaystyle p\colon E\to M}$ und ${\displaystyle E_{0}\subset E}$ das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild ${\displaystyle u\mid _{E}}$ der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

${\displaystyle u\in H^{n}(E,E_{0};\mathbb {Z} )}$

in ${\displaystyle H^{n}(E;\mathbb {Z} )}$. Weil ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kontrahierbar ist, ist ${\displaystyle p\colon E\to M}$ eine Homotopieäquivalenz und

${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(M;\mathbb {Z} )\to H^{*}(E;\mathbb {Z} )}$

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse i​st definiert durch

${\displaystyle e(E):=(p^{*})^{-1}u\mid _{E}\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )}$.

Äquivalent kann man ${\displaystyle e(E)}$ durch

${\displaystyle e(E):=s^{*}u\mid _{E}}$

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) ${\displaystyle s\colon M\to E}$ definieren.

Falls ${\displaystyle E\to M}$ einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also ${\displaystyle s(M)\subset E_{0}}$ gilt, folgt daraus ${\displaystyle e(E)=0}$.

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen ${\displaystyle s_{0}\colon Y\to E}$ auf einer Teilmenge ${\displaystyle Y\subset M}$ gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) ${\displaystyle s\colon (M,Y)\to (E,E_{0})}$ fortsetzen und definiert dann

${\displaystyle e(E,s_{0}):=s^{*}u\in H^{n}(M,Y;\mathbb {Z} )}$.

Definition über Chern-Weil-Theorie

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in ${\displaystyle H^{*}(M;\mathbb {R} )}$ bzw. der relativen Euler-Klasse in ${\displaystyle H^{*}(M,Y;\mathbb {R} )}$, insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension ${\displaystyle n=2k}$ betrachtet man das assoziierte ${\displaystyle SO(2k)}$-Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) ${\displaystyle P\to M}$.

Für ein ${\displaystyle SO(2k)}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle P\to M}$ mit einer Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,so(2k))}$ ist die Euler-Klasse ${\displaystyle e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;\mathbb {R} )}$ das Bild der durch

${\displaystyle Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{k}k!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}}$

definierten Pfaffschen Determinante ${\displaystyle Pf\in I^{n}(so(2k))}$ unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

${\displaystyle I^{k}(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)}$,

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(M)}$ des Prinzipalbündels definierten Differentialform

${\displaystyle {\frac {1}{2^{k}\pi ^{2k}}}Pf(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k}):={\frac {1}{(2\pi )^{2k}}}{\frac {1}{(k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\operatorname {sign} (\sigma )Pf(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))}$

repräsentierte De-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform ${\displaystyle \Omega }$ abhängt und dass sie im Bild von ${\displaystyle H^{2k}(M;\mathbb {Z} )}$ liegt.

Die Übereinstimmung d​er so definierten Euler-Klasse m​it der o​ben topologisch definierten i​st der Inhalt d​es 1943 v​on Allendoerfer u​nd Weil (und m​it einem intrinsischen Beweis 1944 v​on Chern) bewiesenen verallgemeinerten Satzes v​on Gauß-Bonnet.[2]

Relative Euler-Klasse:[3] Es sei ${\displaystyle s\colon Y\to E}$ ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Y\subset M}$. (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von ${\displaystyle Y}$ fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega }$, deren Krümmungsform ${\displaystyle Pf(\Omega )\mid _{Y}\equiv 0}$ erfüllt. Insbesondere definiert ${\displaystyle Pf(\Omega )}$ eine relative Kohomologieklasse ${\displaystyle e(E,s)\in H^{2k}(M,Y;\mathbb {Z} )}$.

Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln

Unter d​en Isomorphismen

${\displaystyle I^{k}(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,\mathbb {R} ))}$

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse ${\displaystyle e(\gamma ^{2k})}$ in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes ${\displaystyle BSL(2k,\mathbb {R} )}$, der Euler-Klasse des universellen Bündels ${\displaystyle \gamma ^{2k}\to BSL(2k,\mathbb {R} )}$. Zu jedem ${\displaystyle SL(2k,\mathbb {R} )}$-Bündel ${\displaystyle P\to M}$ kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to BSL(2k,\mathbb {R} )}$ die Euler-Klasse

${\displaystyle e(P):=f^{*}(e(\gamma ^{2k}))\in H^{2k}(M)}$

definieren. Diese stimmt m​it der Euler-Klasse d​es assoziierten Vektorbündels überein.

Euler-Klasse von Sphärenbündeln

Die Euler-Klasse k​ann für beliebige Sphärenbündel definiert werden.[4]

Im Fall d​es Einheitssphärenbündels e​ines Riemannschen Vektorbündels erhält m​an die o​ben definierte Euler-Klasse d​es Vektorbündels.

Eigenschaften

• Der kanonische Homomorphismus ${\displaystyle H^{n}(X;\mathbb {Z} )\to H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ bildet die Euler-Klasse auf die n-te Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{n}\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ab.
• Das Cup-Produkt ${\displaystyle e(E)\cup e(E)}$ ist die höchste Pontrjagin-Klasse ${\displaystyle p_{n}\in H^{2n}(X;\mathbb {Z} )}$.
• Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ mit Tangentialbündel ${\displaystyle TM}$ und Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M\right]}$ ist ${\displaystyle \langle e(TM),\left[M\right]\rangle =\chi (M)}$ die Euler-Charakteristik von ${\displaystyle M}$.
• Es sei ${\displaystyle {\overline {E}}}$ das Vektorbündel ${\displaystyle E}$ mit der umgekehrten Orientierung, dann ist ${\displaystyle e({\overline {E}})=-e(E)}$.
• Insbesondere gilt für Vektorbūndel ungerader Dimension ${\displaystyle 2e(E)=0}$. Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet die Euler-Charakteristik.
• Für die Whitney-Summe und das kartesische Produkt von Vektorbündeln gilt

  ${\displaystyle e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2}),e(E_{1}\times E_{2})=e(E_{1})\times e(E_{2}),}$
  wobei ${\displaystyle \cup }$ das Cup-Produkt und ${\displaystyle \times }$ das Kreuzprodukt bezeichnet.

• Für einen generischen Schnitt ${\displaystyle s\colon M\to E}$ eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen orientierten Vektorbündels über einer ${\displaystyle m}$-dimensionalen geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist das Bild der Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[Z\right]}$ der Nullstellenmenge ${\displaystyle Z=\left\{x\in X:s(x)=0\right\}}$ in ${\displaystyle H_{m-n}(M;\mathbb {Z} )}$ das Poincaré-Dual von ${\displaystyle e(E)\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )}$. Im Fall des Tangentialbündels ${\displaystyle E=TM}$ ergibt sich daraus der Satz von Poincaré-Hopf.
• Wenn ${\displaystyle N_{Y}}$ das Normalenbündel einer geschlossenen orientierbaren Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Y\subset M}$ ist, dann ist ${\displaystyle <e(N_{Y}),\left[Y\right]>}$ die Selbstschnittzahl von ${\displaystyle Y}$.
• Wenn ${\displaystyle s\colon X\to E}$ ein Schnitt ohne Nullstellen ist, dann ist ${\displaystyle e(E,s\vert _{Y})=0\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )}$ für alle ${\displaystyle Y\subset X}$.
• Gysin-Sequenz: Für ein ${\displaystyle n}$-dimensionales orientiertes Vektorbündel ${\displaystyle E\to B}$ (mit ${\displaystyle E_{0}\subset E}$ die Menge der von Null verschiedenen Vektoren) vermittelt das Cup-Produkt mit der Euler-Klasse eine exakte Sequenz
  ${\displaystyle \ldots \to H^{i}(B;\mathbb {Z} )\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_{0})\to H^{i+1}(B)\to \ldots }$,
  wobei die anderen beiden Abbildungen ${\displaystyle \pi \vert _{E_{0}}^{*}}$ und die Integration entlang der Faser sind.

Euler-Klasse flacher Bündel

Simpliziale Definition

Es sei ${\displaystyle p\colon E\to \vert K\vert }$ ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung ${\displaystyle \vert K\vert }$ eines Simplizialkomplexes ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle 0}$-Simplizes ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$.. Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten ${\displaystyle s(v_{i})\in p^{-1}(v_{i})}$ kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt ${\displaystyle s\colon \vert K\vert \to E}$ konstruieren.[5] Für generische ${\displaystyle s(v_{i})}$ hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem ${\displaystyle (n-1)}$-Skelett, höchstens eine Nullstelle pro ${\displaystyle n}$-Simplex und ist transversal zum Nullschnitt.[6] Dann definieren wir einen simplizialen ${\displaystyle n}$-Kozykel ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )=0}$ falls ${\displaystyle s\vert _{\sigma }}$ keine Nullstelle hat

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )=1}$ falls ${\displaystyle s(p)=0}$ für ein ${\displaystyle p\in \sigma }$ und falls für eine positive Basis ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ von ${\displaystyle T_{p}K}$ auch ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n},d_{p}s(t_{1}),\ldots ,d_{p}s(t_{n})}$ eine positive Basis von ${\displaystyle T_{s(p)}E}$ ist

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )=-1}$ andernfalls.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt.[7] Die von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse ${\displaystyle e\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )}$ des flachen Bündels.

Flache SL(2,R)-Bündel

Wegen ${\displaystyle \pi _{1}SL(2,\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z} }$ hat man die universelle Überlagerung

${\displaystyle \mathbb {Z} \to {\widetilde {SL(2,\mathbb {R} )}}\to SL(2,\mathbb {R} )}$,

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse ${\displaystyle E\in H^{2}(BSL(2,\mathbb {R} )^{\delta };\mathbb {Z} )}$ repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$-Bündel,[8] d. h. für ein flaches Bündel ${\displaystyle P\to M}$ mit Holonomie-Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to SL(2,\mathbb {R} )}$ erhält man

${\displaystyle e(P)=f^{*}(B\rho )^{*}(E)\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$,

wobei ${\displaystyle f\colon M\to B\pi _{1}M}$ die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

Flache Kreisbündel

Es bezeichne ${\displaystyle Homeo^{+}(S^{1})}$ die Gruppe der orientierungserhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist ${\displaystyle {\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}}=\left\{f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x+1)=f(x)+1\ \forall x\in \mathbb {R} \right\}}$. Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und man erhält eine exakte Sequenz

${\displaystyle \mathbb {Z} \to {\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}}\to Homeo^{+}(S^{1})}$.

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse ${\displaystyle E\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )}$ ist die universelle Euler-Klasse für flache ${\displaystyle Homeo^{+}(S^{1})}$-Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel[9] angegeben: die universelle Euler-Klasse ${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {R} )}$ wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel ${\displaystyle o\in C^{2}(Homeo^{+}(S^{1};\mathbb {R} )}$ repräsentiert:

${\displaystyle o(g_{0},g_{1},g_{2})={\frac {1}{2}}}$ falls ${\displaystyle g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)}$ im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind

${\displaystyle o(g_{0},g_{1},g_{2})=0}$ falls mindestens zwei der Werte ${\displaystyle g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)}$ übereinstimmen

${\displaystyle o(g_{0},g_{1},g_{2})=-{\frac {1}{2}}}$ falls ${\displaystyle g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)}$ entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind.

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen ${\displaystyle G\subset Homeo^{+}(S^{1})}$ die universelle Euler-Klasse für flache ${\displaystyle G}$-Bündel. Dies gilt insbesondere für flache ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$-Bündel: man verwende die Wirkung von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle S^{1}=P^{1}\mathbb {R} }$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Literatur

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
• Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
• Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
• Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)

Weblinks

• Vladimir Sharafutdinov: Relative Euler class and the Gauß-Bonnet theorem (PDF)
• Michelle Bucher-Karlsson: Characteristic classes and bounded cohomology. (PDF; Kapitel 3.1)
• Yin Li: The Gauss-Bonnet-Chern Theorem on Riemannian Manifolds. arxiv:1111.4972

Einzelnachweise

1. Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5
2. Shiing-Shen Chern: On the curvatura integra in a Riemannian manifold. In: Annals of Mathematics, 46 (4), 1945, S. 674–684.
3. Sharafutdinov (op.cit.), Kapitel 2
4. Bott-Tu (op.cit.), Kapitel 11
5. Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.1
6. Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.2
7. Benedetti-Petronio (op.cit.), Proposition F.4.4 und F.4.3
8. Bucher-Karlsson (op.cit.), Abschnitt 3.1.4
9. Solomon M. Jekel: A simplicial formula and bound for the Euler class. In: Israel J. Math., 66, 1989, no. 1-3, S. 247–259.