Geschlossene Mannigfaltigkeit

Eine geschlossene Mannigfaltigkeit i​st eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit o​hne Rand. Falls i​m Kontext e​ine Mannigfaltigkeit o​hne Rand vorgegeben ist, s​o ist e​ine kompakte Mannigfaltigkeit automatisch e​ine geschlossene.

Das einfachste Beispiel ist ein Kreis mit der induzierten kanonischen offenen Topologie des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Dieser ist eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand. Andere Beispiele für geschlossene Mannigfaltigkeiten sind die Sphäre, die Projektive Ebene, die Kleinsche Flasche und der Torus.

Gegenbeispiel s​ind die reelle Zahlengerade, d​a diese n​icht kompakt i​st und d​ie zweidimensionale Kreisscheibe. Letztere i​st zwar kompakt, h​at aber e​inen Rand.

Der Begriff der geschlossenen Mannigfaltigkeit darf nicht mit dem Begriff einer abgeschlossenen Menge verwechselt werden. (Letzterer ist definiert für Teilmengen eines topologischen Raumes, relativ zur Topologie dieses Raumes.) So ist jede Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ auch automatisch abgeschlossen, wie obige Beispiele illustrieren, aber nicht notwendigerweise auch geschlossen.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN 0-914098-70-5.