Rahmenbündel

In d​er Mathematik i​m Teilgebiet d​er Differentialgeometrie i​st ein Rahmenbündel[1] e​in Hauptfaserbündel, d​as zu e​inem Vektorbündel zugeordnet ist. Grob gesagt entspricht d​as Rahmenbündel d​er Menge a​ller Basen d​es zugeordneten Vektorbündeln. Die Elemente e​ines Rahmenbündels werden a​ls Rahmen[2] bezeichnet. Von besonderem Interesse i​st das Rahmenbündel, d​as dem Tangentialbündel e​iner glatten Mannigfaltigkeit zugeordnet wird.

Präziser ausgedrückt ist die Faser eines Rahmenbündels die Menge aller geordneten Basen. Somit operiert die allgemeine lineare Gruppe auf einem Rahmenbündel mittels Basiswechsel, wodurch das Rahmenbündel die Struktur eines ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$-Hauptfaserbündels erhält.

Auf e​inem Prähilbertraum, a​lso einem Vektorraum m​it Skalarprodukt, i​st der Begriff d​er Orthonormalbasis definiert. Entsprechend k​ann man e​inem Vektorbündel m​it einer Fasermetrik e​in orthonormales Rahmenbündel zuordnen, d​ie Elemente d​es Raums heißen d​ann orthonormale Rahmen.[3]

Definition

Es sei ${\displaystyle \pi _{\mathcal {E}}\colon {\mathcal {E}}\to B}$ ein Vektorbündel des Rangs ${\displaystyle n}$ über dem topologischen Raum ${\displaystyle B}$. Mit ${\displaystyle \pi _{\operatorname {GL} ({\mathcal {E}})}\colon \operatorname {GL} ({\mathcal {E}})\to B}$ wird im Folgenden das Vektorbündel bezeichnet, dessen Faser über dem Punkt ${\displaystyle x\in B}$ dem Raum aller invertierbaren linearen Abbildungen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ entspricht. Das Vektorbündel ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {E}})}$ ist ein Hauptfaserbündel bezüglich der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$ und der Gruppenaktion ${\displaystyle (p\cdot g)(v):=p(g\cdot v)}$ mit ${\displaystyle p\colon \mathbb {R} ^{n}\to {\mathcal {E}}_{x}}$, ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n)}$ und ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$. Außerdem ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ natürlich isomorph zu dem zu ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {E}})}$ bezüglich der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$ assoziierten Bündel. Das heißt also ${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong \operatorname {GL} ({\mathcal {E}})\times _{\operatorname {GL} (n)}\mathbb {R} ^{n}}$.

Das konstruierte Hauptfaserbündel ${\displaystyle \pi _{\operatorname {GL} ({\mathcal {E}})}\colon \operatorname {GL} ({\mathcal {E}})\to B}$ mit den zuvor genannten Eigenschaften wird Rahmenbündel genannt. Die Elemente eines Rahmenbündels werden am Rahmen bezeichnet.[4][5][6]

Orthogonales Rahmenbündel

Sei nun ${\displaystyle \pi _{\mathcal {E}}\colon {\mathcal {E}}\to B}$ ein Vektorbündel mit einer Metrik, so dass die Fasern des Bündels ein Prähilbertraum sind. Dann können auch orthonormale Basen auf den Prähilberträumen betrachtet werden.

Ein orthonormales Rahmenbündel von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ist dann die Menge aller orthonormalen Vektorraumbasen über jedem Punkt ${\displaystyle x}$ des Basisraums ${\displaystyle B}$. Das orthonormale Rahmenbündel kann auch analog zu dem gewöhnlichen Rahmenbündel als zu dem zu ${\displaystyle O({\mathcal {E}})}$ bezüglich der orthogonalen Gruppe ${\displaystyle O(n)}$ assoziierten Bündel definiert werden. Es gilt also ${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong O({\mathcal {E}})\times _{O(n)}\mathbb {R} ^{n}}$, wobei ${\displaystyle O({\mathcal {E}})}$ also das Vektorbündel ist, dessen Fasern die Menge alle geordneten orthonormalen Basen ist.[7]

Somit ist auch das orthonormale Rahmenbündel ein Hauptfaserbündel mit der orthogonalen Gruppe ${\displaystyle O(n)}$ als Strukturgruppe.[8][5]

Literatur

• L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León: Differential Geometry of Frame Bundles. Springer Science & Business Media, 1988, ISBN 0-7923-0012-2.

Einzelnachweise

1. Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 386–387.
2. Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 375.
3. Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 454.
4. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 14–15.
5. Gerard Walschap: Metric Structures in Differential Geometry. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-0-387-21826-7, S. 62–64.
6. Clifford Taubes: Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature. OUP Oxford, 2011, ISBN 978-0-19-960588-0, S. 106–107.
7. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 30.
8. L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León: Differential Geometry of Frame Bundles. Springer Science & Business Media, 1988, ISBN 0-7923-0012-2, S. 122 ff.