Normalenbündel

Das Normalenbündel i​st ein Begriff a​us der Differentialtopologie u​nd der Differentialgeometrie, Teilgebieten d​er Mathematik. Ein solches Vektorbündel umfasst a​lle Normalenvektoren e​iner Untermannigfaltigkeit u​nd ist s​omit ein z​um Tangentialbündel komplementäres Konzept.

Normalenvektoren an einer Fläche im dreidimensionalen Raum

Mit Hilfe v​on Normalenbündeln können beispielsweise tubulare Umgebungen v​on Untermannigfaltigkeiten konstruiert werden.

Definition

Untermannigfaltigkeit

Das Normalenbündel einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Y\subset X}$ ist das Vektorbündel über ${\displaystyle Y}$, das aus allen Paaren ${\displaystyle (y,\nu )}$ besteht, wobei ${\displaystyle y\in Y}$ gilt und ${\displaystyle \nu }$ ein Vektor im Quotientenraum ${\displaystyle T_{y}X/T_{y}Y}$ ist, wobei ${\displaystyle T_{y}X}$ und ${\displaystyle T_{y}Y}$ die Tangentialräume von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind. Mit anderen Worten ist das Normalenbündel definiert als die disjunkte Vereinigung

${\displaystyle NY:=\coprod _{y\in Y}T_{y}X/T_{y}Y}$.[1]

Immersierte Untermannigfaltigkeit

Etwas allgemeiner ist die Konstruktion des normalen Bündels einer immersierten Untermannigfaltigkeit. Sei also ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ eine Immersion von ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle X}$. Dann ist das Normalenbündel von ${\displaystyle Y}$ definiert durch

${\displaystyle NY:=\coprod _{y\in Y}f^{*}(T_{y}X)/T_{y}Y}$,

wobei ${\displaystyle f^{*}}$ der Rücktransport von ${\displaystyle f}$ ist.[1]

Riemannsche Geometrie

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ riemannsche Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ eine Immersion, so dass ${\displaystyle Y}$ eine in ${\displaystyle X}$ immersierte Mannigfaltigkeit ist. Sei ${\displaystyle p\in Y}$ und ${\displaystyle T_{p}X}$ der Tangentialraum von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle p}$. Aufgrund der riemannschen Metrik gibt es eine orthogonale Zerlegung ${\displaystyle T_{p}X=T_{p}Y\oplus N_{p}Y}$ dieses Tangentialraums. Dabei ist ${\displaystyle N_{p}Y}$ der Normalenraum am Punkt ${\displaystyle p}$. Die Menge

${\displaystyle NY:=\coprod _{p\in Y}N_{p}Y}$

ist das Normalenbündel der riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Y}$ bezüglich ${\displaystyle X}$.[2] Dieses Normalenbündel in der riemannschen Geometrie ist ein Spezialfall der zuvor genannten Definition, denn ${\displaystyle N_{p}Y}$ ist offenbar zu den Quotientenräumen obiger Definition isomorph.

Stabiles Normalenbündel

→ Hauptartikel: Stabiles Normalenbündel

Abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten h​aben ein kanonisches Tangentenbündel, a​ber kein Normalenbündel. Nur d​as Einbetten (oder Immersieren) e​iner Mannigfaltigkeit i​n eine andere ergibt e​in normales Bündel.

Da allerdings jede differenzierbare Mannigfaltigkeit nach dem Einbettungssatz von Whitney in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ eingebettet werden kann, lässt jede Mannigfaltigkeit bei einer solchen Einbettung ein Normalenbündel zu. Es gibt im Allgemeinen keine natürliche Wahl der Einbettung, aber für eine gegebene Mannigfaltigkeit sind zwei beliebige Einbettungen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ für ausreichend großes ${\displaystyle N}$ isotop und induzieren daher das gleiche Normalenbündel. Die resultierende Klasse der Normalenbündel (es handelt sich um eine Klasse von Bündeln und nicht um ein bestimmtes Bündel, da ${\displaystyle N}$ variieren kann) wird als stabiles Normalenbündel bezeichnet.

Weblinks

• Normal bundle. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

1. Antoni A. Kosinski: Differential Manifolds. Academic Press Limited, New Brunswick, New Jersey 1992, ISBN 0-12-421850-4, S. 44.
2. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 132–133.