Pfaffsche Determinante

In der Mathematik kann die Determinante einer alternierenden Matrix immer als das Quadrat eines Polynoms der Matrixeinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die pfaffsche Determinante der Matrix genannt. Die pfaffsche Determinante ist nur für alternierende ${\displaystyle (2n\times 2n)}$-Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$.

Definition

Sei ${\displaystyle \Pi }$ die Menge aller Partitionen von ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}$ in Paare. Es gibt ${\displaystyle (2n-1)!!}$ (Doppelfakultät) solcher Partitionen. Jedes Element ${\displaystyle \alpha \in \Pi }$ kann in eindeutiger Weise als

${\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}$

geschrieben werden mit ${\displaystyle i_{k}<j_{k}}$ und ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n}}$. Sei

${\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}$

die korrespondierende Permutation und sei ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\alpha )}$ das Signum von ${\displaystyle \pi }$.

Sei ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ eine alternierende ${\displaystyle (2n\times 2n)}$-Matrix. Für jede wie oben geschriebene Partition ${\displaystyle \alpha }$ setze

${\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}$

Die pfaffsche Determinante ${\displaystyle A}$ ist dann definiert als

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }}$.

Ist ${\displaystyle m}$ ungerade, so wird die pfaffsche Determinante einer alternierenden ${\displaystyle (m\times m)}$-Matrix als Null definiert.

Alternative Definition

Man kann zu jeder alternierenden ${\displaystyle (2n\times 2n)}$-Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ einen Bivektor assoziieren:

${\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}}$,

wobei ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{2n}\}}$ die Standardbasis für ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ist. Die pfaffsche Determinante ist definiert durch

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}}$,

hierbei bezeichnet ${\displaystyle \omega ^{n}}$ das Keilprodukt von ${\displaystyle n}$ Kopien von ${\displaystyle \omega }$ mit sich selbst.

Beispiele

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.}$

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}$

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &&0\\-\lambda _{1}&0&\omega _{1}&0&&&\\0&-\omega _{1}&0&\lambda _{2}&&&\vdots \\0&0&-\lambda _{2}&\ddots &\ddots &&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\omega _{n-1}&\\&&&&-\omega _{n-1}&0&\lambda _{n}\\0&&\cdots &&&-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

Eigenschaften

Für eine alternierende ${\displaystyle (2n\times 2n)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ und eine beliebige ${\displaystyle (2n\times 2n)}$-Matrix ${\displaystyle B}$ gilt

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)}$

• Für eine blockdiagonale Matrix

${\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}}$

gilt ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A_{1}\oplus A_{2})={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2})}$.

• Für eine beliebige ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix ${\displaystyle M}$ gilt:

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}$

Anwendungen

Die pfaffsche Determinante i​st ein invariantes Polynom e​iner alternierenden Matrix (Hinweis: Sie i​st nicht invariant u​nter allgemeinen Basiswechseln, sondern n​ur unter orthogonalen Transformationen). Als solche i​st sie wichtig für d​ie Theorie d​er charakteristischen Klassen. (In diesem Zusammenhang w​ird sie a​uch als Euler-Polynom bezeichnet.) Sie k​ann insbesondere benutzt werden, u​m die Eulerklasse e​iner riemannschen Mannigfaltigkeit z​u definieren. Diese w​ird in d​em Satz v​on Gauß-Bonnet benutzt.

Die Anzahl d​er perfekten Paarungen i​n einem planaren Graphen i​st gleich d​em Absolutwert e​iner geeigneten pfaffschen Determinante, welche i​n polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies i​st insbesondere deshalb überraschend, w​eil das Problem für allgemeine Graphen s​ehr schwer i​st (Sharp-P-vollständig). Das Ergebnis w​ird in d​er Physik benutzt, u​m die Zustandssumme d​es Ising-Modells v​on Spingläsern z​u berechnen. Dabei i​st der zugrundeliegende Graph planar. Vor kurzem w​urde sie a​uch benutzt, u​m effiziente Algorithmen für s​onst anscheinend unlösbare Probleme z​u entwickeln. Dazu zählt d​ie effiziente Simulation v​on bestimmten Typen d​er Quantenberechnungen.

Geschichte

Der Begriff pfaffsche Determinante w​urde von Arthur Cayley geprägt, d​er ihn 1852 benutzte: "The permutants o​f this c​lass (from t​heir connection w​ith the researches o​f Pfaff o​n differential equations) I s​hall term Pfaffians." Dies geschah z​u Ehren d​es deutschen Mathematikers Johann Friedrich Pfaff.

Siehe auch

• Invariantes Polynom

Weblinks

• Pfaffian at PlanetMath.org (englisch)