Nullstellenmenge

Eine Nullstellenmenge i​st eine Teilmenge d​es Definitionsbereiches e​iner Funktion u​nd enthält a​lle Argumente, d​ie auf d​ie Null abgebildet werden. Nullstellenmengen finden s​ich in vielen Teilbereichen d​er Mathematik. So i​st die Bestimmung d​er Nullstellenmenge e​iner Funktion sowohl Teil d​er Schulmathematik a​ls auch Teil d​er Riemannschen Vermutung u​nd damit e​ines der Millennium-Probleme.

Definition

Gegeben sei eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to Z}$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle D}$ und Zielmenge ${\displaystyle Z}$, wobei ${\displaystyle 0\in Z}$ ein speziell ausgezeichnetes Nullelement sei. Dann heißt die Menge

${\displaystyle N=\{x\in D\mid f(x)=0\}}$

die Nullstellenmenge der Funktion ${\displaystyle f}$.

Bemerkungen

• Die Nullstellenmenge enthält alle Nullstellen der Funktion und ist somit genau die Niveaumenge der Funktion zum Wert ${\displaystyle 0}$.
• Wegen ${\displaystyle N=f^{-1}(\{0\})}$ handelt es sich bei der Nullstellenmenge von ${\displaystyle f}$ um einen Wert der zu ${\displaystyle f}$ gehörenden Urbildfunktion. Weil deren Argument ${\displaystyle \{0\}}$ hier einelementig ist, handelt es sich bei ${\displaystyle N}$ um die Faser von ${\displaystyle f}$ über ${\displaystyle 0}$.
• Die Zielmenge muss mindestens die Struktur eines Magmas mit Eins, also einer Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung und einem neutralen Element ${\displaystyle 0}$, besitzen. Beispiele für solche Strukturen sind Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume. In den meisten Fällen entspricht die Zielmenge den reellen oder komplexen Zahlen.
• Bei einem Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$ mit einer (additiv geschriebenen) Gruppe ${\displaystyle H}$ nennt man die Nullstellenmenge von ${\displaystyle f}$ auch den Kern ${\displaystyle \ker f}$ von ${\displaystyle f}$. Das gilt insbesondere auch für solche Gruppen erweiternde algebraische Strukturen wie zum Beispiel Ringe oder Vektorräume als Zielmengen.

Beispiele

• Die Polynomfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle f(x)=x^{2}-1}$

besitzt die Nullstellenmenge ${\displaystyle N=\{-1,1\}}$.

• Die Sinusfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$

besitzt die Nullstellenmenge ${\displaystyle N=\{\pi k\,|\,k\in \mathbb {Z} \}}$.

• Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1}$

besitzt als Nullstellenmenge den Einheitskreis.

Varietäten

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring in n Veränderlichen über ${\displaystyle K}$ und ist ${\displaystyle I\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ eine Teilmenge, so betrachtet man in der algebraischen Geometrie die Nullstellenmenge von ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle {\mathfrak {V}}(I):=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}|\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0{\text{ für alle }}f\in I\}}$

Man nennt diese die Varietät von ${\displaystyle I}$.[1] Dabei handelt es sich um den Durchschnitt der Nullstellenmengen aller Polynomfunktionen ${\displaystyle K^{n}\rightarrow K}$ von Polynomen aus ${\displaystyle I}$.

Z-Mengen

Ist ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, so heißt eine Teilmenge ${\displaystyle Y\subset X}$ eine Z-Menge, falls sie die Nullstellenmenge einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ ist, also falls ${\displaystyle Y=\{x\in X\mid f(x)=0\}}$ für eine stetige Funktion ${\displaystyle f}$ gilt. Das Z in Z-Menge kommt vom englischen Wort zero für Null her. Da ${\displaystyle \{0\}\subset \mathbb {R} }$ eine abgeschlossene Menge ist und da Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder abgeschlossen sind, müssen alle Z-Mengen abgeschlossen sein.[2]

Einzelnachweise

1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, Definition 1.7.
2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), § 4.6.

Weblinks

• Zero Set in Mathworld