Gysin-Sequenz

Die Gysin-Sequenz i​st in d​er Mathematik, genauer i​n der Algebraischen Topologie, e​ine lange exakte Sequenz, welche d​ie Kohomologieklassen v​on Basis, Faser u​nd Totalraum e​ines Sphärenbündels miteinander i​n Beziehung setzt. Eine Anwendung stellt d​ie Berechnung d​er Kohomologie a​us der Eulerklasse (und umgekehrt) e​ines Sphärenbündels dar.

Die Sequenz w​urde 1942 d​urch Werner Gysin eingeführt.

Definition

Sei ${\displaystyle E}$ ein orientiertes Sphärenbündel, ${\displaystyle M}$ die zugehörige Basis, ${\displaystyle S^{k}}$ die typische Faser und ${\displaystyle \pi :E\longrightarrow M}$ die Projektionsabbildung. Einem solchen Bündel kann man eine Kohomologieklasse ${\displaystyle e}$ vom Grad ${\displaystyle k+1}$ zuordnen, die man als Euler-Klasse des Bündels bezeichnet.

Die Projektionsabbildung ${\displaystyle \pi }$ auf die Basis induziert eine Abbildung in der Kohomologie ${\displaystyle H^{*}}$, den sogenannten Pullback ${\displaystyle \pi ^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E)}$. Weiterhin gibt es einen „Pushforward“ genannten Homomorphismus ${\displaystyle \pi _{*}:H^{n}(E)\rightarrow H^{n-k}(M)}$.

Gysin zeigte, dass die folgende lange Sequenz exakt ist: ${\displaystyle \ldots \longrightarrow H^{n}(E)\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\pi _{*}}H^{n-k}(M)\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!e\wedge }H^{n+1}(M)\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\pi ^{*}}H^{n+1}(E)\longrightarrow \ldots }$

Am einfachsten lässt sich die Sequenz in De-Rham-Kohomologie beschreiben. Hier sind die Kohomologieklassen durch Differentialformen gegeben, die Eulerklasse kann also durch eine ${\displaystyle k+1}$–Form dargestellt werden. Die Pushforward-Abbildung ist durch faserweise Integration von Differentialformen auf der Sphäre gegeben und ${\displaystyle \wedge }$ in der Sequenz bezeichnet das äußere Produkt von Differentialformen. In integraler Kohomologie dagegen kann man den Pushforward nicht mehr als Integration auffassen und das Wedgeprodukt muss durch das Cup-Produkt ersetzt werden.

Literatur

• Werner Gysin: "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten", Commentarii Mathematici Helvetici, 14, 61–122 (1942). online (PDF; 5,4 MB)
• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. 4th printing. Springer, New York u. a. 2008, ISBN 978-0-387-90613-3 (Graduate Texts in Mathematics 82).

Quellen