Stiefel-Whitney-Klassen

In d​er Mathematik, genauer i​n der algebraischen Topologie u​nd in d​er Differentialgeometrie u​nd -topologie, s​ind Stiefel-Whitney-Klassen e​in spezieller Typ charakteristischer Klassen, d​ie reellen Vektorbündeln zugeordnet werden. Sie s​ind nach Eduard Stiefel u​nd Hassler Whitney benannt.

Grundidee und Motivation

Stiefel-Whitney-Klassen s​ind charakteristische Klassen. Sie s​ind topologische Invarianten v​on Vektorbündeln über glatten Mannigfaltigkeiten. Zwei isomorphe Vektorbündel h​aben dieselben Stiefel-Whitney-Klassen. Die Stiefel-Whitney-Klassen liefern a​lso eine Möglichkeit z​u verifizieren, d​ass zwei Vektorbündel über e​iner glatten Mannigfaltigkeiten verschieden sind. Jedoch k​ann mit i​hrer Hilfe n​icht entschieden werden, o​b zwei Vektorbündel isomorph sind, d​a nicht-isomorphe Vektorbündel dieselben Stiefel-Whitney-Klassen h​aben können.

In der Topologie, der Differentialgeometrie und der algebraischen Geometrie ist es oft wichtig, die maximale Anzahl linear unabhängiger Schnitte eines Vektorbündels zu bestimmen. Die Stiefel-Whitney-Klassen liefern Hindernisse für die Existenz solcher Schnitte.

Im Falle d​es Tangentialbündels e​iner differenzierbaren Mannigfaltigkeit s​ind die e​rste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse d​ie (einzigen) Obstruktionen g​egen Orientierbarkeit u​nd die Existenz e​iner Spinstruktur.

Axiomatischer Zugang

Die Stiefel-Whitney-Klassen sind Invarianten von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$. Jedem Vektorbündel ${\displaystyle V}$ über ${\displaystyle X}$ werden Kohomologieklassen

${\displaystyle w_{i}(V)\in H^{i}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

für ${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$ zugeordnet, ${\displaystyle w_{i}(V)}$ heißt die i-te Stiefel-Whitney-Klasse des Vektorbündels ${\displaystyle V}$.

Man k​ann die Stiefel-Whitney-Klassen d​urch die folgenden Axiome beschreiben, welche s​ie eindeutig festlegen.

Axiom 1: Wenn ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$ eine stetige Abbildung und ${\displaystyle V}$ ein Vektorbündel über ${\displaystyle X}$ ist, dann ist ${\displaystyle w_{i}(f^{*}V)=f^{*}w_{i}(V)}$ für ${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$. Dabei steht * für den Rücktransport.

Axiom 2: Wenn ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ Vektorbündel über demselben topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sind, dann ist ${\displaystyle w_{k}(V\oplus W)=\sum _{i=0}^{k}w_{i}(V)\cup w_{k-i}(W)}$. Dabei bedeutet ${\displaystyle \cup }$ das Cup-Produkt.

Axiom 3: Für jedes Vektorbündel ${\displaystyle V}$ über einem wegzusammenhängenden Raum ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle w_{0}(V)}$ der Erzeuger von ${\displaystyle H^{0}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. Für jedes n-dimensionale Vektorbündel ${\displaystyle V}$ ist ${\displaystyle w_{i}(V)=0}$ für alle ${\displaystyle i>n}$. Für das "Möbiusband", d. h. das nichttriviale 1-dimensionale Vektorbündel ${\displaystyle V}$ über dem Kreis ${\displaystyle S^{1}}$ ist ${\displaystyle w_{1}(V)}$ der Erzeuger von ${\displaystyle H^{1}(S^{1},\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Stiefel-Whitney-Klassen als Charakteristische Klassen

Siehe auch: Charakteristische Klasse

Sei ${\displaystyle BG}$ die Graßmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ und ${\displaystyle \gamma ^{n}\rightarrow BG}$ das tautologische Bündel. Der Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Koeffizienten lässt sich als Polynomring

${\displaystyle H(BG;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[w_{1},w_{2},w_{3},\ldots ,w_{n}\right]}$

über ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ mit Erzeugern ${\displaystyle w_{i}\in H^{i}(BG;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ darstellen.

Zu einem Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ mit Faser ${\displaystyle V\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ lässt sich eine bis auf Homotopie eindeutige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to BG}$ definieren, die durch eine Bündelabbildung ${\displaystyle F\colon E\to \gamma ^{n}}$ in das tautologische Bündel über ${\displaystyle BG}$ überlagert wird.

Die i-te Stiefel-Whitney-Klasse ergibt s​ich dann als

${\displaystyle w_{i}(E):=f^{*}(w_{i})\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\,.}$

Schnitte

Wenn e​in n-dimensionales Vektorbündel k linear unabhängige Schnitte besitzt, d​ann ist:

${\displaystyle w_{n-k+1}(V)=w_{n-k+2}(V)=\ldots =w_{n}(V)=0}$.

Die Umkehrung gilt nicht. Sei zum Beispiel ${\displaystyle S_{g}}$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht g und ${\displaystyle TS_{g}}$ ihr Tangentialbündel. Dann verschwinden die Stiefel-Whitney-Klassen ${\displaystyle w_{1}(TS_{g})=w_{2}(TS_{g})=0}$, aber nur der Torus ist parallelisierbar, für ${\displaystyle g\not =1}$ hat jedes Vektorfeld auf ${\displaystyle S_{g}}$ eine Nullstelle. (Der Fall ${\displaystyle g=0}$ ist der Satz vom Igel, der allgemeine Fall folgt aus dem Satz von Poincaré-Hopf.)

w₁ und Orientierbarkeit

Sei ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex. Man hat einen kanonischen Isomorphismus ${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=Hom(\pi _{1}X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. Unter diesem Isomorphismus entspricht die 1-te Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{1}(E)\in H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ eines Vektorbündels ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ dem Homomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}X\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, der die Homotopieklasse eines geschlossenen Weges genau dann auf ${\displaystyle 0}$ abbildet, wenn das Vektorbündel entlang dieses geschlossenen Weges orientierbar ist. (Andernfalls wird die Homotopieklasse des geschlossenen Weges auf ${\displaystyle 1}$ abgebildet. Man beachte, dass es über dem Kreis ${\displaystyle S^{1}}$ nur zwei nicht-äquivalente ${\displaystyle n}$-dimensionale Vektorbündel gibt. Die Homotopieklasse des geschlossenen Weges wird also genau dann auf ${\displaystyle 1}$ abgebildet, wenn das zurückgezogene Vektorbündel über ${\displaystyle S^{1}}$ nichttrivial ist.)

Insbesondere ist ein Vektorbündel ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ orientierbar genau dann, wenn ${\displaystyle w_{1}(E)=0\in H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

Eindimensionale Vektorbündel

Sei ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex. Die ${\displaystyle 1}$-dimensionalen Vektorbündel über ${\displaystyle X}$ bilden eine Gruppe ${\displaystyle Vect^{1}(X)}$ mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Die 1-te Stiefel-Whitney-Klasse gibt einen Gruppen-Isomorphismus

${\displaystyle w_{1}\colon Vect^{1}(X)\rightarrow H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

Kobordismustheorie

Satz (Pontrjagin): Wenn eine kompakte differenzierbare n-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ der Rand einer kompakten differenzierbaren n+1-Mannigfaltigkeit ist, dann ist ${\displaystyle w_{i}(TM)=0}$ für alle ${\displaystyle i\geq 1}$.

Satz (Thom): Wenn für eine kompakte differenzierbare n-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ die Stiefel-Whitney-Klassen trivial sind, d. h. ${\displaystyle w_{i}(TM)=0}$ für alle ${\displaystyle i\geq 1}$, dann ist ${\displaystyle M}$ der Rand einer kompakten differenzierbaren n+1-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Obstruktionstheorie

Literatur

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic Classes. Princeton University Press u. a., Princeton NJ 1974, ISBN 0-691-08122-0 (Annals of Mathematics Studies 76).
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory (PDF; 1,2 MB)
• Eduard Stiefel: Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Comm. Math. Helvetici, Bd. 8, 1935/6