Gruppenkohomologie

Gruppenkohomologie i​st ein technisches Werkzeug d​er Mathematik, d​as ursprünglich d​er Untersuchung v​on Gruppen diente, später a​ber auch insbesondere i​n der Topologie u​nd Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie v​on Galoisgruppen w​ird auch a​ls Galoiskohomologie bezeichnet u​nd spielt e​ine wichtige Rolle i​n der Zahlentheorie. In d​er Topologie spielt Gruppenkohomologie a​ls Kohomologie v​on Eilenberg-MacLane-Räumen e​ine wichtige Rolle.

Definition als abgeleiteter Funktor

Definition

Es sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der ${\displaystyle G}$-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul ${\displaystyle A}$ die Untergruppe ${\displaystyle A^{G}}$ der unter ${\displaystyle G}$ invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{n}(G,A)}$ von ${\displaystyle G}$ mit Koeffizienten in einem ${\displaystyle G}$-Modul ${\displaystyle A}$.

Beziehung zu Ext

Die Gruppenkohomologie k​ann auch mithilfe d​es Funktors Ext definiert werden:

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(G,A)=\mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,A);}$

dabei ist ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ der Gruppenring von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mit der trivialen ${\displaystyle G}$-Operation versehen.

Definition über Koketten

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen ${\displaystyle G}$-Moduls berechnet werden kann. Sie kann als ${\displaystyle (\mathbb {Z} [G^{n}],d_{n})}$ explizit angegeben werden:

${\displaystyle d_{n}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})=\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}(\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n});}$

dabei ist

${\displaystyle (\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n}):=(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i-1},\sigma _{i+1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

d. h. Index ${\displaystyle i}$ wird ausgelassen.

Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes ${\displaystyle (C^{n},d^{n})}$ mit

${\displaystyle C^{n}=\{f\colon G^{n+1}\to A\mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})\}}$

und

${\displaystyle (d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n+1}).}$

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.

Inhomogene Koketten

Die Bedingung der ${\displaystyle G}$-Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von ${\displaystyle G}$ um eins zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten ${\displaystyle ({\tilde {C}}^{n},{\tilde {d}}^{n})}$ definiert werden:

${\displaystyle {\tilde {C}}^{n}=\{f\colon G^{n}\to A\}}$

und

${\displaystyle ({\tilde {d}}^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})=\sigma _{1}\cdot f(\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n})+{}}$

${\displaystyle {}+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i}\sigma _{i+1},\ldots ,\sigma _{n})+(-1)^{n}f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}).}$

Beispielsweise ist

${\displaystyle \mathrm {H} ^{1}(G,A)=\{c\colon G\to A\mid c(\sigma \tau )=c(\sigma )+\sigma c(\tau )\}/\{c_{a}(\tau )=\tau a-a\mid a\in A\}.}$

Die inhomogenen 1-Kozykel

${\displaystyle c\colon G\to A,\quad c(\sigma \tau )=c(\sigma )+\sigma c(\tau )}$

heißen verschränkte Homomorphismen.

Definition über klassifizierende Räume

Die Gruppenkohomologie kann äquivalent definiert werden als die Kohomologie des Eilenberg-MacLane-Raumes ${\displaystyle K(G,1)}$, also des klassifizierenden Raumes der mit der diskreten Topologie versehenen Gruppe:

${\displaystyle H^{*}(G,A)=H^{*}(K(G,1),A)}$.

Für praktische Berechnungen i​st diese Definition o​ft nützlicher a​ls andere Definitionen.

Siehe auch

• Gruppenhomologie

Weblinks

• Jon F. Carlson: The mod-2 cohomology of 2-groups. Department of Mathematics, University of Georgia, 31. Mai 2001, archiviert vom Original am 3. Juli 2007; abgerufen am 4. September 2017.

Literatur

• David J. Benson: Representations and cohomology (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 31). 2. Auflage. II: Cohomology of groups and modules. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63652-3.
• Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6.
• George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5.
• Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. B.I.-Hochschulskripten, 713/713a*. Bibliographisches Institut, Mannheim/Vienna/Zürich 1969, ISBN 978-3-642-17324-0, x+308 S.