Chern-Weil-Theorie

In d​er Mathematik i​st die Chern-Weil-Theorie e​in allgemeines Verfahren, w​ie man d​ie charakteristischen Klassen e​ines Prinzipalbündels a​us seiner Krümmung berechnen kann. (Charakteristische Klassen s​ind Kohomologieklassen, d​ie topologisch messen, w​ie getwistet e​in Bündel ist.) Historisch entstand s​ie beim Beweis d​er höherdimensionalen Version d​es Satzes v​on Gauß-Bonnet, s​ie markierte d​en Beginn d​er “globalen Differentialgeometrie”, a​lso der Wechselwirkung v​on Geometrie u​nd Topologie. Die Theorie i​st nach André Weil u​nd S. S. Chern benannt.

Definition

Sei ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$ ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe ${\displaystyle G}$, sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ die Lie-Algebra von ${\displaystyle G}$. Chern-Weil-Theorie definiert einen Homomorphismus

${\displaystyle \phi :I^{*}({\mathfrak {g}})\rightarrow H_{dR}^{*}(M)}$

vom Raum der ${\displaystyle Ad(G)}$-invarianten Polynome auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ in die deRham-Kohomologie, den sogenannten Chern-Weil-Homomorphismus.

Jedem invarianten Polynom ${\displaystyle f\in I^{k}({\mathfrak {g}})}$ wird die ${\displaystyle 2k}$-Form

${\displaystyle f(\Omega ,\ldots ,\Omega )\in \Omega ^{2k}(M)}$

zugeordnet, wobei ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(M)}$ die Krümmungsform eines Zusammenhangs des Prinzipalbündels ist. Das heißt, für ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{2k}\in T_{p}P}$ ist

${\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\operatorname {sign} (\sigma )f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))}$.

${\displaystyle f(\Omega )}$ ist eine geschlossene Form und ${\displaystyle \phi (f)}$ ist dann per Definition die Kohomologieklasse dieser ${\displaystyle 2k}$-Form. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \phi (f)}$ nicht vom gewählten Zusammenhang abhängt.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {C} )}$. Dann hat die Krümmungsform Werte in ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}$. Die Entwicklung

${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(\Omega )t^{k}}$

definiert invariante Polynome

${\displaystyle c_{k}(\Omega )\in I^{2k}({\mathfrak {g}})}$,

zum Beispiel ist ${\displaystyle c_{1}(\Omega )={\frac {i}{2\pi }}Tr(\Omega )}$ und ${\displaystyle c_{n}(\Omega )=({\frac {i}{2\pi }})^{n}\det(\Omega )}$. Die Kohomologieklassen ${\displaystyle \phi (c_{1}),\ldots ,\phi (c_{n})}$ sind die Chern-Klassen.

Universeller Chern-Weil-Homomorphismus

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe und ${\displaystyle BG}$ ihr klassifizierender Raum. ${\displaystyle BG}$ ist keine Mannigfaltigkeit, trotzdem lässt sich für das universelle ${\displaystyle G}$-Bündel ${\displaystyle \pi :EG\rightarrow BG}$ ein Chern-Weil-Homomorphismus ${\displaystyle \phi _{G}:I^{*}(G)\rightarrow H^{*}(BG)}$ definieren.

Wenn ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$ ein ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel und ${\displaystyle F:M\rightarrow BG}$ seine klassifizierende Abbildung ist, dann ist ${\displaystyle \phi =F^{*}\circ \phi _{G}}$.

Siehe auch

• Weil-Algebra

Literatur

• Appendix C: Connections, Curvature, and Characteristic Classes in: Milnor, John W.; Stasheff, James D.: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp.
• Chapter 5 in: Candel, Alberto; Conlon, Lawrence: Foliations. II. Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. xiv+545 pp. ISBN 0-8218-0881-8