Simplizialkomplex

Ein Simplizialkomplex i​st ein Begriff d​er algebraischen Topologie. Bei e​inem Simplizialkomplex handelt e​s sich u​m ein r​ein kombinatorisch beschreibbares Objekt, m​it dessen Hilfe d​ie entscheidenden Eigenschaften v​on bestimmten, a​ls triangulierbar bezeichneten topologischen Räumen algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe d​azu verwendet, für d​en zugrundeliegenden topologischen Raum Invarianten z​u definieren.

Die Idee d​es Simplizialkomplexes besteht darin, e​inen topologischen Raum dadurch z​u untersuchen, d​ass – sofern möglich – d​urch Zusammenfügen v​on Simplizes e​ine Menge i​m d-dimensionalen euklidischen Raum konstruiert wird, d​ie homöomorph i​st zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung z​um Zusammenbau“ d​er Simplizes, d​as heißt d​ie Angaben darüber, w​ie die Simplizes zusammengefügt sind, w​ird dann i​n Form e​iner Sequenz v​on Gruppenhomomorphismen r​ein algebraisch charakterisiert.

Definitionen

Abstrakter Simplizialkomplex

Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex

Ein abstraktes Simplex ${\displaystyle \sigma }$ ist eine endliche nichtleere Menge. Ein Element eines abstrakten Simplexes nennt man Ecke von ${\displaystyle \sigma }$, eine nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle \sigma }$ ist wieder ein abstraktes Simplex und wird Facette (oder Seite) von ${\displaystyle \sigma }$ genannt.

Ein abstrakter oder auch kombinatorischer Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ist eine Menge von Simplizes mit der Eigenschaft, dass jede Facette ${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma }$ eines Simplexes ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$ wieder zu ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ gehört, also ${\displaystyle \sigma '\in {\mathcal {K}}}$. Die Vereinigungsmenge aller Ecken von Simplizes des Simplizialkomplexes ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ wird Eckenmenge oder Eckpunktbereich genannt und mit ${\displaystyle V({\mathcal {K}})}$ bezeichnet.[1]

Die Dimension eines abstrakten Simplex, das ${\displaystyle k+1}$ Ecken enthält, ist definiert als ${\displaystyle k}$, und die Dimension des Simplizialkomplexes ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ist definiert als das Maximum der Dimension aller Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ unendlichdimensional.

Der Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.

Das ${\displaystyle n}$-Skelett ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$ eines Simplizialkomplexes ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ist die Menge aller seiner Simplizes der Dimension ${\displaystyle \leq n}$.

Geometrischer Simplizialkomplex

Ein geometrischer Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist eine Menge von Simplizes in einem euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit der Eigenschaft, dass jede Facette ${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma }$ eines Simplexes ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ wieder zu ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ gehört und dass für alle Simplizes ${\displaystyle \sigma ,\tau \in {\mathcal {S}}}$ der Durchschnitt ${\displaystyle \sigma \cap \tau }$ entweder leer oder eine gemeinsame Facette von ${\displaystyle \sigma }$ und ${\displaystyle \tau }$ ist. Mit ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ wird die Vereinigung aller Simplizes des geometrischen Komplexes bezeichnet.

Geometrische Realisierung

Ein geometrischer Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, dessen Ecken einem gegebenen abstrakten Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ entsprechen, heißt geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Sie wird mit ${\displaystyle \vert {\mathcal {K}}\vert }$ bezeichnet. Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander homöomorph.

Zu einem Punkt ${\displaystyle x\in \vert {\mathcal {K}}\vert }$ gibt es einen eindeutigen Simplex aus ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, in dessen Innerem ${\displaystyle x}$ liegt. Dieser Simplex wird als Trägersimplex von ${\displaystyle x}$ bezeichnet.

Ein simplizialer Teilkomplex ${\displaystyle {\mathcal {S}}'\subseteq S}$ ist eine Menge von Simplizes in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ derart, dass die Vereinigung der Simplizes in ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$einen simplizialen Komplex bildet.[2]

Triangulierung

Ein topologischer Raum heißt triangulierbar, w​enn er homöomorph z​u einem geometrischen Simplizialkomplex ist.

Abschluss, Stern und Link

Sei ${\displaystyle M}$ eine Menge von Simplizes in einem geometrischen Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Man kann nun durch drei Konstruktionen ${\displaystyle M}$ zu einem Teilkomplex von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ machen, wobei der Stern von ${\displaystyle M}$ beim Beweis des simplizialen Approximationssatz gebraucht wird.

• 
  Zwei Simplizes (gelb) und deren Abschluss (grün).
• 
  Ein Simplex und dessen Stern.
• 
  Ein Simplex und dessen Link.

Abschluss

Der Abschluss ${\displaystyle \operatorname {cl} (M)}$ von ${\displaystyle M}$ ist der kleinste simpliziale Teilkomplex von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, der jedes Simplex in ${\displaystyle M}$ enthält. Man definiert ${\displaystyle \operatorname {cl} (M)=\{\sigma \in {\mathcal {S}}:\sigma {\text{ ist eine Seite eines Simplex in }}M\}}$. Der Abschluss entsteht, indem man zu jedem Simplex in ${\displaystyle M}$ all seine Seiten (Facetten) hinzufügt.

Stern

Der Stern ${\displaystyle \operatorname {st} (M)}$ von ${\displaystyle M}$ ist der Abschluss aller Simplizes, die eine Seite in ${\displaystyle M}$ besitzen. Man definiert ${\displaystyle \operatorname {st} (M)=\operatorname {cl} (\{\sigma \in {\mathcal {S}}:\sigma {\text{ besitzt eine Seite in }}M\})}$. Den Stern kann man verstehen als die kleinste simpliziale Umgebung von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Weiterhin bildet ${\displaystyle {\overset {\circ }{\operatorname {st} }}(\operatorname {cl} (M))}$ eine offene simpliziale Umgebung von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Link

Der Link ${\displaystyle \operatorname {lk} (M)}$ besteht aus allen Simplizes im Stern von ${\displaystyle M}$, aber kein Simplex von ${\displaystyle M}$ treffen. Man definiert: ${\displaystyle \operatorname {lk} (M)=\{\sigma \in \operatorname {st} (M):\sigma \cap \tau =\emptyset {\text{ für alle }}\tau \in M\}}$. Den Link kann man als den topologischen Rand der simplizialen Umgebung auffassen.[3]

Simpliziale Abbildungen

Eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {K}}\to {\mathcal {L}}}$ ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen ${\displaystyle f\colon V({\mathcal {K}})\to V({\mathcal {L}})}$, bei der für jedes Simplex aus ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ dessen Ecken unter der Abbildung ${\displaystyle f}$ auf die Ecken eines Simplex in ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ abgebildet werden.[4]

Eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {K}}\to {\mathcal {L}}}$ induziert eine stetige Abbildung ${\displaystyle \vert f\vert \colon \vert {\mathcal {K}}\vert \to \vert {\mathcal {L}}\vert }$. Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine affin lineare Fortsetzung konstruiert.

Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung ${\displaystyle g\colon \vert {\mathcal {K}}\vert \to \vert {\mathcal {L}}\vert }$ nach endlich vielen baryzentrische Unterteilungen durch eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon \operatorname {Bd} ^{m}({\mathcal {K}})\to {\mathcal {L}}}$ approximieren, siehe simplizialer Approximationssatz. Hierbei steht ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$ für die baryzentrische Unterteilung.

Eine simpliziale Abbildung, d​ie bijektiv ist, d​as heißt, d​ie Umkehrabbildung i​st auch e​ine simpliziale Abbildung, n​ennt man e​inen simplizialen Isomorphismus.

Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex

Sei ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ein endlicher Simplizialkomplex. Die ${\displaystyle p}$-te simpliziale Gruppe von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension ${\displaystyle p}$ erzeugt wird, sie wird mit ${\displaystyle C_{p}^{\Delta }({\mathcal {K}})}$ notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale ${\displaystyle p}$-Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne ${\displaystyle p}$-Simplex. Ein Randoperator ${\displaystyle \partial \colon C_{p}^{\Delta }({\mathcal {K}})\to C_{p-1}^{\Delta }({\mathcal {K}})}$ wird dann definiert durch

${\displaystyle \partial (\langle v_{k_{0}},\ldots ,v_{k_{p}}\rangle ):=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{i}\langle v_{k_{0}},\ldots ,v_{k_{i-1}},v_{k_{i+1}},\ldots ,v_{k_{p}}\rangle ,}$

wobei ${\displaystyle \langle v_{k_{0}},\ldots ,v_{k_{p}}\rangle }$ das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt ${\displaystyle \partial (\partial c)=0}$ für alle simplizialen ${\displaystyle p}$-Ketten ${\displaystyle c}$. Daher ist ${\displaystyle (C_{p}^{\Delta }({\mathcal {K}}),\partial )}$ ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.

Anwendung in der Graphentheorie

Man k​ann einen Graphen Simplizialkomplexe zuweisen, u​m so untere Schranken a​n die chromatische Zahl z​u beweisen. Wahrscheinlich a​m bekanntesten s​ind die Nachbarschaftskomplexe v​on László Lovász.

→ Hauptartikel: Topologische_Kombinatorik#Anwendungen von Methoden aus der Topologie auf Probleme der diskreten Mathematik

Geschichte

Triangulierungen u​nd ein i​n Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent z​u dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden v​on Henri Poincaré g​egen Ende d​es neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen w​urde erstmals 1912 v​on Brouwer verwendet. In d​en 1920er-Jahren entstand d​ann die Sichtweise, d​ie zum Begriff d​es Kettenkomplexes führte.[5]

Siehe auch

• Simpliziales Polytop
• Simpliziale Menge
• Simpliziale Homologie
• CW-Komplex – ein allgemeinerer Begriff, der Simplizialkomplexe als Spezialfall umfasst.
• Fahnenkomplex

Einzelnachweise

1. H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 158 (online)
2. Herbert Seifert, William Threlfall: Lehrbuch der Topologie. Hrsg.: AMS Chelsea Publ. 2004, ISBN 978-0-8218-3595-1, S. 47.
3. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 163–164.
4. H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 172 (online)
5. Jean Dieudonné: A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, S. 4–6, Boston 1989, Reprint 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4

Quellen

• John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2 (Graduate Texts in Mathematics 202), Seiten 96, 323–324
• S. N. Malygin & M. M. Postnikov: Simplicial complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Weblinks

• Jörg Bewersdorff: Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel (PDF-Datei; 179 kB).
• Jie Wu: Lecture Notes on Algebraic Topology: Simplicial Complexes (PDF; 713 kB) (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive).