Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

${\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$ = 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate auf. Derzeit (Stand: 17. März 2020) sind 600.000.000.000 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Seungmin Kim und Ian Cutress berechnet.[1]

Bezeichnung

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel ${\displaystyle \varpi }$ (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von ${\displaystyle \pi }$, um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

${\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}}$

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen ${\displaystyle \Pi }$, und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent ${\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}}$.

Im Englischen findet sich für die Minuskel ${\displaystyle \varpi }$ auch die (irreführende) Bezeichnung pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.

Im englischen Sprachraum wird

${\displaystyle G=\varpi /\pi }$ = 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)

als Gaußkonstante bezeichnet.

Eigenschaften

Betafunktion

Mit der Betafunktion ${\displaystyle \mathrm {B} }$ und der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$ gilt

${\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/{\bigl (}2{\sqrt {2\pi }}{\bigr )}.}$

Deswegen gilt auch das Folgende:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}}$

Unendliche Summen und Produkte

Gauß fand die Beziehung

${\displaystyle \varpi =\pi /\operatorname {agm} (1;{\sqrt {2}})}$

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel agm und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

${\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}}$

mit Summanden der Größenordnung ${\displaystyle {\frac {1}{k2^{k}}}}$ an.

Außerdem erkannte Carl Friedrich Gauß folgenden Zusammenhang:

${\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{2}})+2\operatorname {arcsl} ({\tfrac {7}{23}})}$

${\displaystyle \varpi =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}{\biggl [}4{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{4k+1}+2{\bigl (}{\frac {7}{23}}{\bigr )}^{4k+1}{\biggr ]}}$

Dabei wird mit ${\displaystyle \operatorname {arcsl} }$ der Lemniskatische Arkussinus ausgedrückt.

Weitere Arcussinus-Lemniscatus-Summen von diesem Schema können so erzeugt werden:

${\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} (a)+2\operatorname {arcsl} \{\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -2\arctan(a^{2})]\}}$ mit ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

Die Auswertung

${\displaystyle \varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}}$

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung ${\displaystyle {\frac {1}{k^{3/2}}}}$ sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

${\displaystyle \varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}}$

mit Summanden der Größenordnung ${\displaystyle e^{-\pi k^{2}}}$.

Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:

${\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (\pi k)}$

Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:

${\displaystyle \varpi =2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)}}={\sqrt {2}}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}}}$

Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:

${\displaystyle \varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}}$

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante ${\displaystyle \gamma }$ her:[2]

${\displaystyle \log \varpi ={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}}$

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von ${\displaystyle \varpi }$.[3] Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ und somit auch ${\displaystyle \varpi }$ algebraisch unabhängig von ${\displaystyle \pi }$ ist.[4][5]

Elliptische Integrale

Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:

${\displaystyle \varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=}$

${\displaystyle =8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]}$

Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:

${\displaystyle \varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.

Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{4})^{3/4}}}\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{3/4}}}\mathrm {d} x=\varpi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)}}\mathrm {d} x=\varpi }$ ${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\operatorname {sec} (x)}}\mathrm {d} x=\varpi }$

Das Produkt folgender zwei Integrale lässt sich mit der Produktregel und dem Satz von Fubini auf folgende Weise umformen:

${\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}$

Daraus folgt:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\varpi }}}$

Aus diesem Integral lassen sich folgende Integrale herleiten:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{(x^{4}+1)^{3/2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}\varpi }}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{1/4}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)^{3}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}}$

Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt außerdem folgendes Integral:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\Gamma ({\frac {3}{4}})=\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\mathrm {d} x={\frac {\sqrt[{4}]{\pi ^{3}}}{4{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\varpi }}}}}$

Ellipsenumfang

Ellipse mit den Werten: a = √2b und U = (2ϖ + 2π/ϖ)b

Bei einer Ellipse, in welcher sich die größere Halbachse zur kleineren Halbachse in der Quadratwurzel aus Zwei verhält, nimmt das Verhältnis des Ellipsenumfangs zur kleineren Halbachse den Wert 2ϖ + 2π/ϖ an. Diese Tatsache wird im nun Folgenden bewiesen:

${\displaystyle U/b=4{\sqrt {2}}E{\bigl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigr )}=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {2-2x^{2}}}{\bigr )}^{2}+1}}\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\frac {2x^{2}}{1-x^{2}}}+1}}\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {1+x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x+4\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=2\varpi +{\frac {2\pi }{\varpi }}}$

Somit gilt für diese Ellipse:

${\displaystyle U=({\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1})a=(2\varpi +2\pi \varpi ^{-1})b}$

In dieser Tabelle werden mehrere Ellipsen mit ihren Umfangsverhältnissen aufgelistet:

Kleinere Halbachse/Größere Halbachse	Umfang/Größere Halbachse
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1}}$
${\displaystyle 2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)}$	${\displaystyle 2\varpi +2({\sqrt {2}}-1)\pi \varpi ^{-1}}$
${\displaystyle 2^{13/8}({\sqrt {2}}+1)^{5/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}}$	${\displaystyle 2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)\varpi +2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}\pi \varpi ^{-1}}$

Siehe auch

• Lemniskatischer Sinus
• Lemniskatischer Arkussinus

Literatur

• Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.
• Carl Ludwig Siegel: Transzendente Zahlen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.
• John Todd: The Lemniscate Constants. Institute of Technology, Kalifornien 1975
• A. I. Markuschewitsch: Analytic Functions. Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov, A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2, S. 133–136.
• Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben)
• Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant, Kapitel 6.1 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 420–423 (englisch)
• Hans Wußing, Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a].

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Lemniscate Constant. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Gauss's Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A062540 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ϖ)
• Folge A053002 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ϖ/π)

Einzelnachweise

1. Alexander Jih-Hing Yee: Lemniscate Constant. 8. September 2019, abgerufen am 17. März 2020 (englisch).
2. Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)
3. Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale (11. März 1936), Mathematische Annalen 113, 1937, S. 1–13
4. G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)
5. Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers, American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch)