Algebraische Funktion

Algebraische Funktionen s​ind eine spezielle Klasse v​on Funktionen, d​ie insbesondere i​n dem mathematischen Teilgebiet d​er Algebra untersucht wird. Sie s​ind die Lösung e​iner algebraischen Gleichung. Funktionen, d​ie nicht algebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt.

Die Theorie d​er algebraischen Funktionen w​urde in d​er Vergangenheit v​on den d​rei mathematischen Teilgebieten Funktionentheorie, arithmetische algebraische Geometrie u​nd algebraische Geometrie a​us entwickelt.

Definition

Eine Funktion ${\displaystyle y=f(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ in ${\displaystyle n}$ Variablen wird algebraische Funktion genannt, falls es ein irreduzibles Polynom ${\displaystyle P}$ in ${\displaystyle n+1}$ Variablen und Koeffizienten in einem Körper gibt, so dass ${\displaystyle f}$ die algebraische Gleichung

${\displaystyle P(f(x_{1},\dotsc ,x_{n}),x_{1},\dotsc ,x_{n})=0}$

löst.

Eine Funktion ${\displaystyle y=f(x)}$ von einer Variablen ist also algebraisch, falls sie die Gleichung

${\displaystyle P_{n}(x)y^{n}+\dotsb +P_{1}(x)y+P_{0}(x)=0}$

erfüllt, wobei ${\displaystyle P_{1},\dotsc ,P_{n}}$ Polynome in der Variable ${\displaystyle x}$ sind.[1]

Eigenschaften

• Da in der Definition gefordert wurde, dass die Polynome irreduzibel sind, kann bewiesen werden, dass es zu jeder algebraischen Funktion ${\displaystyle y=f(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ bis auf eine Konstante genau ein irreduzibles Polynom ${\displaystyle P}$ gibt mit ${\displaystyle P(y,x_{1},\dotsc ,x_{n})=0}$. Der Grad des Polynoms ${\displaystyle P}$ in der Variablen ${\displaystyle y}$ wird dann der Grad der algebraischen Funktion genannt.
• Für den Grad ${\displaystyle 1}$ können alle algebraischen Funktionen als rationale Funktionen und für die Grade ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$ und ${\displaystyle 4}$ können sie alle als Quadrat- oder Kubikwurzel einer rationalen Funktion dargestellt werden. Für Grade ${\displaystyle k>4}$ ist dies im Allgemeinen nicht möglich.
• Algebraische Funktionen einer Variablen über dem Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind meromorph.

Beispiele

• Potenzfunktionen ${\displaystyle y=x^{r}}$ mit rationalem Exponenten ${\displaystyle r}$.
• Polynom-Funktionen
• Rationale Funktionen beziehungsweise gebrochen-rationale Funktionen
• Wurzelfunktion

Transzendente Funktionen

Eine Funktion w​ird transzendent genannt, f​alls sie n​icht algebraisch ist. Hierzu zählen z​um Beispiel

• die Exponentialfunktion
• die Logarithmusfunktion
• Kreis- und Hyperbelfunktionen
  • Trigonometrische Funktion
  • Hyperbelfunktion
  • Arkusfunktion
  • Areafunktion

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Algebraic Function. In: MathWorld (englisch).
• Zhizhchenko: Algebraic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

1. Josef Naas, Hermann Ludwig Schmid: Mathematisches Wörterbuch. Mit Einbeziehung der theoretischen Physik. Band 1: A – K. 3. Auflage, unveränderter Nachdruck. Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1979, ISBN 3-519-02400-4.