Arithmetisch-geometrisches Mittel

In d​er Mathematik bezeichnet m​an als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen e​ine gewisse Zahl, d​ie zwischen d​em arithmetischen Mittel u​nd dem geometrischen Mittel liegt.

Plot des arithmetisch-geometrischen Mittels ${\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}$ (in dunkelblau)

Definition

Es seien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen ${\displaystyle a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{n}}$ mit

${\displaystyle a_{0}=a}$

(1a)

${\displaystyle b_{0}=b}$

(1b)

definiert:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$

(2)

(arithmetisches Mittel)

${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$

(3)

(geometrisches Mittel)

Die Folgen ${\displaystyle a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{n}}$ konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert ${\displaystyle M(a,b)}$, der als arithmetisch-geometrisches Mittel von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ bezeichnet wird.

Dass d​ie beiden Grenzwerte tatsächlich existieren u​nd darüber hinaus s​ogar noch gleich sind, w​ird weiter u​nten in „Wichtige Eigenschaften“ gezeigt.

Einfaches Beispiel

Sei

${\displaystyle a_{0}=4}$ und ${\displaystyle b_{0}=9}$

(4a,b)

Dann ist

${\displaystyle a_{1}={\frac {4+9}{2}}=6{,}5}$ und ${\displaystyle b_{1}={\sqrt {4\cdot 9}}=6}$

(5)

${\displaystyle a_{2}=6{,}25\,}$ und ${\displaystyle b_{2}\approx 6{,}245\,}$

(6)

${\displaystyle a_{3}\approx b_{3}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,}$

(7)

Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt:

${\displaystyle M(a,b)=M(b,a)\,}$

(10)

${\displaystyle M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)}$ für ${\displaystyle t\geq 0}$

(11)

Das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist – wie jede Mittelwertfunktion – symmetrisch und homogen vom Grad 1 in seinen beiden Variablen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle \min\{a,b\}\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}{2}}\leq \max\{a,b\}}$

(12)

Gleichheit gilt dabei genau für ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle M(a,b)=M\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)}$

(13)

Wichtige Eigenschaften

• Monotonie: Für zwei positive Startwerte ${\displaystyle 0<b_{0}<a_{0}}$ gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch ${\displaystyle b_{n}<a_{n}}$. Die Folge ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dotsc }$ ist also monoton wachsend und durch ${\displaystyle a_{0}}$ nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert ${\displaystyle \beta }$. Andererseits ist die Folge ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc }$ monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert ${\displaystyle \alpha }$. Oder anders geschrieben:

${\displaystyle b_{0}<b_{1}<\dotsb <b_{n}<b_{n+1}<\dotsb <\beta \leq \alpha <\dotsb <a_{n+1}<a_{n}<\dotsb <a_{1}<a_{0}.}$

(14)

Geht man nun in der Definitionsgleichung ${\displaystyle a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2}$ zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man ${\displaystyle \alpha =(\alpha +\beta )/2}$, woraus ${\displaystyle \alpha =\beta }$ folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist ${\displaystyle \alpha =\beta =M(a,b)}$ das arithmetisch-geometrische Mittel.

• Konvergenzgeschwindigkeit: Sei

${\displaystyle c_{n}:={\sqrt {{a}_{n}^{2}-{b}_{n}^{2}}}}$

(15)

Wegen der Abschätzung

${\displaystyle c_{n+1}={\frac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})={\frac {{c}_{n}^{2}}{4{a}_{n+1}}}\leq {\frac {{c}_{n}^{2}}{M(a,b)}}}$

(16)

liegt e​in Verfahren m​it quadratischer Konvergenz vor.

Alternative Darstellung

Man kann beide Folgen auch voneinander "entkoppeln": Sei

${\displaystyle a_{0}=a}$, ${\displaystyle b_{0}=b}$, ${\displaystyle a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}}$ und ${\displaystyle b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}}$.

(21)

Dann k​ann man d​ie obigen Gleichungen umformen zu:

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}\;+{\sqrt {(2a_{n-1}-a_{n-2})\cdot a_{n-2}}}}{2}}}$

(22)

${\displaystyle b_{n}={\sqrt {\frac {b_{n-1}\cdot (b_{n-1}^{2}+b_{n-2}^{2})}{2b_{n-2}}}}}$

(23)

Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel w​urde unabhängig voneinander v​on den Mathematikern Carl Friedrich Gauß u​nd zuvor s​chon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, u​m die Bogenlänge v​on Ellipsen, a​lso elliptische Integrale, näherungsweise z​u berechnen. Gauß e​twa notierte z​um Zusammenhang zwischen d​em arithmetisch-geometrischen Mittel u​nd dem elliptischen Integral 1. Gattung (Bogenlänge e​iner Lemniskate) d​ie Gleichung

${\displaystyle {\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

(24)

in s​ein Mathematisches Tagebuch.[1]

Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard P. Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl ${\displaystyle \pi }$ konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte d​es Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

• Initialisierung: Man verwendet als Startwerte

${\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}\qquad }$

(31)

• Schleife: Für

${\displaystyle n=1,2,...}$

berechnet man

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}\,}$

(32)

${\displaystyle b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}\,}$

(33)

${\displaystyle c_{n}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\,}$

(34)

${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}-2^{n}c_{n}\,}$

(35)

${\displaystyle p_{n}={\frac {2a_{n}^{2}}{s_{n}}}\,}$

(36)

Die Folge der ${\displaystyle (p_{n})}$ konvergiert quadratisch gegen ${\displaystyle \pi }$, das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen ${\displaystyle \pi }$ als viele klassische Verfahren.

Zahlenbeispiel

Mit d​en Startwerten

${\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707106781186547\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}=0{,}5\qquad }$

(37)

berechnet m​an iterativ:

Index ${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{n}}$	${\displaystyle b_{n}}$	${\displaystyle c_{n}}$	${\displaystyle s_{n}}$	${\displaystyle p_{n}}$
${\displaystyle n=0}$	1	0,70710 67811 86547		0,5
${\displaystyle n=1}$	0,85355 33905 93274	0,84089 64152 53715	0,02144 66094 06726	0,45710 67811 86547	3,18767 26427 12110
${\displaystyle n=2}$	0,84722 49029 23494	0,84720 12667 46891	0,00004 00497 56187	0,45694 65821 61801	3,14168 02932 97660
${\displaystyle n=3}$	0,84721 30848 35193	0,84721 30847 52765	0,00000 00001 39667	0,45694 65810 44462	3,14159 26538 95460

Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrische Mittel den Näherungswert ${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})\approx a_{3}\approx 0{,}847213084.}$

Für die Zahl ${\displaystyle \pi }$ ergibt sich die Näherung ${\displaystyle \pi \approx p_{3}\approx 3{,}141592653.\,}$

Beziehung zu elliptischen Integralen

Es gilt:

${\displaystyle {\frac {\pi /4}{M(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})((a+b)^{2}-(a-b)^{2}t^{2})}}}}$

(41)

Die rechte Seite i​st ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Aufgelöst n​ach M(a,b) entsteht folgender Ausdruck:

${\displaystyle M(a,b)={\frac {\pi }{4}}(a+b)K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}^{-1}}$

(42)

Alternativ k​ann das arithmetisch-geometrische Mittel a​uch mit d​er Jacobischen Thetafunktion dargestellt werden:

${\displaystyle M(a,b)={\frac {1}{2}}(a+b)\vartheta _{00}{\bigl \{}\exp {\bigl [}-\pi K'{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-2}}$

(43)

${\displaystyle M(a,b)={\frac {1}{2}}(a+b)\vartheta _{00}{\bigl [}q{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}{\bigr ]}^{-2}}$

(44)

Somit i​st das arithmetisch-geometrische Mittel d​as Produkt a​us dem arithmetischen Mittel u​nd dem Kehrwert d​es Quadrats v​on dem Theta-Funktionswert ϑ₀₀ a​us dem sogenannten elliptischen Nomen. Das Elliptische Nomen[2] i​st der Eulersche Exponentialfunktionswert v​om negativen Produkt v​on der Kreiszahl u​nd dem reellen Halbperiodenverhältnis. Das reelle Halbperiodenverhältnis[3] i​st der Quotient d​es komplementären vollständigen elliptischen Integrals erster Art dividiert d​urch das zugehörige elliptische Integral erster Art. Die Jacobische Thetafunktion ϑ₀₀(x) i​st der Nachfolger v​om Doppelten d​er unendlichen Summe d​er Potenzen m​it x a​ls Basis u​nd den Quadratzahlen ungleich Null a​ls Exponenten.

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.
• Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0

Weblinks

• David H. Bailey et al. The Quest for Pi (PDF; 119 kB)
• Eric W. Weisstein: Arithmetic-Geometric Mean. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Vgl. Carl Friedrich Gauß: Mathematisches Tagebuch 1796–1814. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005. (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 256.), Nr. 98 (Braunschweig, 30. Mai 1798): „Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ esse ${\displaystyle ={\frac {\pi }{\varpi }}}$ usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur.“ „Wir haben bis zur elften Stelle nachgewiesen, daß der Wert des arithmetisch-geometrischen Mittels zwischen 1 und ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {\pi }{\varpi }}}$ ist; durch diesen Beweis wird uns ganz gewiß ein völlig neues Feld in der Analysis eröffnet werden.“ Dabei ist ${\displaystyle \varpi$ :=2\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}} die von Gauß eingeführte lemniskatische Konstante.
2. Eric W. Weisstein: Nome. Abgerufen am 18. Juli 2021 (englisch).
3. Eric W. Weisstein: Half-Period Ratio. Abgerufen am 18. Juli 2021 (englisch).