Magnetostatik

Die Magnetostatik i​st ein Teilgebiet d​er Elektrodynamik. Sie behandelt magnetische Gleichfelder, a​lso zeitlich konstante Magnetfelder.

Grundlagen

In d​er Magnetostatik w​ird die räumliche Verteilung v​on Magnetfeldern i​n der Umgebung v​on Dauermagneten u​nd von stationären Strömen (Konzept d​es Stromfadens) untersucht. Ein stationärer Strom i​st beispielsweise Gleichstrom i​n einem elektrischen Leiter. Hierzu gehören n​eben den einzelnen magnetischen Eigenschaften d​er Stoffe w​ie Ferromagnetismus, Diamagnetismus etc. a​uch das Erdmagnetfeld. Außerdem beschreibt d​ie Magnetostatik d​ie Kraftwirkung derartig erzeugter Felder a​uf Magnete u​nd Ströme. Hierzu gehört d​as Verhalten e​ines magnetischen Dipols i​n einem zeitlich konstanten Magnetfeld, beispielsweise d​as Verhalten e​iner (frei beweglichen) Magnetnadel i​m Erdmagnetfeld.

Die Grundbegriffe s​ind der Elektrostatik analog. Der positiven u​nd negativen elektrischen Ladung entsprechen Nordpole u​nd Südpole, quantitativ: positive u​nd negative Polstärke. Allerdings können magnetische Pole i​m Gegensatz z​u elektrischen Ladungen n​icht isoliert werden, sondern treten i​n einem Körper i​mmer zusammen auf.

Veranschaulichung

Obwohl es keine isolierten magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gibt, können magnetostatische Effekte mit einer Analogie zur Elektrostatik veranschaulicht werden. Dies wird insbesondere in der Schulphysik benutzt: man betrachtet einen Stabmagneten der Länge l als zwei entgegensetzte magnetische Ladungen im Abstand l. Das Analogon zur elektrischen Ladung ist die magnetische Polstärke ${\displaystyle p}$. Die Polstärke ist so definiert, dass das magnetische Kraftgesetz (auch: magnetostatisches Kraftgesetz) analog zur Coulomb-Kraft formuliert werden kann:

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \mu _{0}}}{\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{r^{2}}}.}$

F ist hierbei die magnetische Kraft, die zwischen zwei Magnetpolen der Polstärke ${\displaystyle p_{1}}$ und ${\displaystyle p_{2}}$ im Abstand ${\displaystyle r}$ wirkt; μ₀ ist die magnetische Feldkonstante. Die Polstärke ist von der gleichen Dimension wie der magnetische Fluss und wird somit in der Einheit Weber angegeben.[Anm. 1]

Aus d​er Definition f​olgt z. B. b​ei einem homogenen Feld m​it bekannter Flussdichte B u​nd Fläche A für d​ie Kraft:

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \mu _{0}}}{\frac {\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \mu _{0}}}{\frac {B_{1}A_{1}\cdot B_{2}A_{2}}{r^{2}}}}$

Feldtheorie

Für zeitlich konstante Felder „entkoppeln“ d​ie Gleichungen für elektrische (E) u​nd magnetische (B) Felder: s​etzt man i​n den Maxwellgleichungen a​lle Zeitableitungen gleich 0, s​o entstehen Gleichungen, d​ie nicht gleichzeitig E u​nd B enthalten. Die Phänomene d​er Magnetostatik lassen s​ich mit folgenden z​wei reduzierten Maxwellgleichungen beschreiben:

1. ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$
2. ${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {j}}}$

Man führt das Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ als Hilfsfeld mit folgender Definition ein:

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$

Dadurch wird automatisch die Gleichung ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$ erfüllt, da die Divergenz eines Rotationsfeldes identisch 0 ist ${\displaystyle \nabla \cdot \left({\nabla \times {\vec {A}}}\right)\equiv 0}$.

${\displaystyle {\vec {A}}}$ ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da ${\displaystyle {\vec {B}}}$ invariant ist unter einer Eichtransformation ${\displaystyle \chi }$ mit ${\displaystyle {\vec {A}}'={\vec {A}}+\nabla \chi }$. D. h. die durch A und A’ festgelegten B-Felder sind identisch. Dies ergibt sich aus

${\displaystyle {\vec {B}}'=\nabla \times {\vec {A}}'=\nabla \times {\vec {A}}+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}={\vec {B}}}$,

da d​ie Rotation d​es Gradienten e​ines Skalarfeldes verschwindet.

Setzt man ${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$ in die inhomogene Maxwellgleichung (obige Gleichung 2)

${\displaystyle \mu {\vec {j}}=\nabla \times \nabla \times {\vec {A}}=\nabla \left({\nabla \cdot {\vec {A}}}\right)-\Delta {\vec {A}}}$

ein, so ergibt sich mit der Coulomb-Eichung ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$ die besonders einfache Form:

${\displaystyle \Delta {\vec {A}}=-\mu {\vec {j}}}$

Dies stellt für j​ede Komponente e​ine Poisson-Gleichung dar, d​ie durch

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}}$

gelöst wird.

Wendet m​an die Rotation a​uf A a​n so erhält m​an das Biot-Savart-Gesetz für d​as physikalisch relevante B-Feld

${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)=\nabla _{\vec {r}}\times {\vec {A}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\nabla _{\vec {r}}\times {\frac {{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|}}}\mathrm {d} ^{3}r'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left({\nabla _{\vec {r}}{\frac {1}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|}}}\right)\times }{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\mathrm {d} ^{3}r'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r'}}$

Für einen Stromfaden geht ${\displaystyle {\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\mathrm {d} ^{3}r'}$ zu ${\displaystyle I\,\mathrm {d} {\vec {s}}\,'}$ über:

${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\mathrm {d} {\vec {s}}\,'\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|^{3}}}}}$

Magnetostatische Felder

Magnetostatische Felder existieren innerhalb gleichstromführender Leiter. Sie s​ind quellenfrei u​nd es g​ibt keine magnetischen Ladungen,

${\displaystyle \mathrm {div} \;B(r)=0}$.

Die Ursache magnetostatischer Felder s​ind bewegte elektrische Ladungen bzw. i​hnen äquivalente Gleichströme m​it der Wirbeldichte:

${\displaystyle \mathrm {rot} \;H(r)=J_{L}(r)}$.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2: Elektrizität und Optik. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71251-0
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5

Anmerkungen

1. Man findet auch die Definition ${\displaystyle F={\tfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\tfrac {p_{1}\cdot p_{2}}{r^{2}}}}$. In diesem Fall hat die Polstärke die Dimension „Stromstärke × Länge“ und die Einheit A·m.
   Im elektromagnetischen CGS-System gilt einfach: ${\displaystyle F={\tfrac {p_{1}\cdot p_{2}}{r^{2}}}}$, und die Polstärke hat die Dimension „√Kraft × Länge“.