Arkustangensintegral
Das Arkustangensintegral ist eine nicht elementare Funktion in der Mathematik. Diese Funktion ist die durch den Ursprung verlaufende Stammfunktion des Produkts von der Arkustangensfunktion und der Kehrwertfunktion.
Definition
![](../I/Mplwp_inverse_tangent_integral_Ti2.svg.png.webp)
Das Arkustangensintegral ist folgendermaßen definiert:
Alternativ kann das Arkustangensintegral mit der Lerchschen Transzendente definiert werden:
Somit ist das Arkustangensintegral das imaginäre Gegenstück zur Legendreschen Chi-2-Funktion:
Folglich zählt das Arkustangensintegral zu den Polylogarithmen.
Spezielle Werte
Der Funktionswert Ti₂(1) ist die Catalansche Konstante, die unendliche alternierende Differenz der Kehrwerte von den ungeraden Quadratzahlen:
Die Funktionswerte Ti₂(2-√3) und Ti₂(2+√3) sind ebenso mit der Catalanschen Konstante und den elementaren Funktionen darstellbar:
Außerdem ergeben folgende Summen elementare Werte:
Funktionalgleichungen
Folgende Funktionalgleichungen des Arkustangensintegrals sind für alle reellen x-Werte gültig:
Ableitungen
Folgende Funktionen haben folgende Ableitungen:
Arkussinusintegral
Analog zum Arkustangensintegral ist das Arkussinusintegral wie folgt definiert:
Diese Funktion darf bezüglich ihrer Bezeichnung nicht mit dem Integralsinus verwechselt werden.
Aus dieser Definition resultiert jene Maclaurinsche Reihenentwicklung:
Folgende Funktionswerte hat diese Funktion:
Der Wert Si₂(1) kann auf folgende Weise bewiesen werden:
Das Analogon für den Lemniskatischen Arkussinus ergibt folgenden Wert:
Dabei stellt ϖ die Lemniskatische Konstante dar.
Literatur
- Nielsen, N. "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen." Nova Acta Leopoldina, Abh.der Kaiserlich Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akad. der Naturforsch. 90, 121–212, 1909.
- Finch, S. R. "Inverse Tangent Integral." §1.7.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 57, 2003.
- Lewin, L. "The Inverse Tangent Integral" and "The Generalized Inverse Tangent Integral." Chs. 2–3 in Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, pp. 33–90, 1958.
- Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, p. 45, 1981.