Pseudobetrag

Ein Pseudobetrag i​st eine abgeschwächte Variante e​ines Betrags.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ ein unitärer Ring. Eine Abbildung ${\displaystyle |\cdot |\colon R\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in R}$ folgende Eigenschaften gelten:

(1) ${\displaystyle |a|=0\;\Leftrightarrow \;a=0}$ (Definitheit)

(2) ${\displaystyle |a-b|\leq |a|+|b|}$

(3) ${\displaystyle |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|}$ (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) ${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}$ (Multiplikativität),

so ist ${\displaystyle |\cdot |}$ ein Betrag.

Der Pseudobetrag ${\displaystyle |\cdot |}$ heißt nicht-archimedisch, wenn

(4) ${\displaystyle |a+b|\leq \max(|a|,|b|)}$

gilt.

Eigenschaften

• Für einen Pseudobetrag gelten stets

${\displaystyle |{-a}|=|a|}$

und

${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ (Dreiecksungleichung).

• Für einen Pseudobetrag gilt stets ${\displaystyle |1|\geq 1}$ , für einen Betrag gilt sogar ${\displaystyle |1|=1}$ .
• Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
• Die Funktion

${\displaystyle {\begin{array}{llll}d\;\colon &R\times R&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\&d(a,b)&\mapsto |a-b|\end{array}}}$

definiert die vom Pseudobetrag ${\displaystyle |\cdot |}$ induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Beispiele

Sei ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Polynomringe mit Pseudobetrag

Dann sind die Polynomalgebren ${\displaystyle R[X]}$ in einer bzw. ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Matrizenringe mit Pseudobetrag

Analog sind die Matrizenalgebren ${\displaystyle R^{n\times n}}$ wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.