Satz von Rademacher

Der Satz v​on Rademacher, benannt n​ach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, i​st ein Satz d​er Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage

Seien ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ natürliche Zahlen, ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$ eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist ${\displaystyle f}$ fast überall (total) differenzierbar.[1]

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen ${\displaystyle f}$ nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to (X;d_{X})}$, wobei ${\displaystyle X}$ nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst i​st jedoch n​icht klar, w​ie sich obiger Satz a​uf diesen Fall übertragen lässt, d​enn ein metrischer Raum trägt n​icht a priori a​uch eine lineare Struktur.

Fasst man ${\displaystyle f}$ als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion ${\displaystyle \Phi \colon [0;1]\to L^{1}([0;1]),\ t\mapsto \chi _{[0;t]}}$. Wobei ${\displaystyle \chi _{[0;t]}}$ die charakteristische Funktion des Teilintervalls ${\displaystyle [0;t]}$ bezeichne.

Es gilt für beliebige ${\displaystyle \ 1\geq y\geq x\geq 0}$:

${\displaystyle \|\Phi (y)-\Phi (x)\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|\chi _{[0,y]}(t)-\chi _{[0,x]}(t)|\,dt=\int _{x}^{y}1\ dt=|y-x|\,.}$

Dabei bezeichne ${\displaystyle \|.\|_{L^{1}}}$ die L¹-Norm. Das heißt, ${\displaystyle \Phi }$ ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass ${\displaystyle \Phi }$ nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim h​at nun a​ber den Satz v​on Rademacher i​n einem anderen Sinne verallgemeinern können:[2]

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.

Einzelnachweise

1. Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (PDF; 481 kB), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (Satz von Rademacher inklusive eines Beweises: S. 18ff.) Abgerufen am 12. Juni 2012.
2. Bernd Kirchheim: Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure; zitiert nach: Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994. Abgerufen am 12. Juni 2012.