Satz von Ostrowski

Der Satz von Ostrowski ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie (Bewertungstheorie). Er besagt, dass jeder auf den rationalen Zahlen definierte nichttriviale Absolutbetrag entweder zur üblichen Betragsfunktion oder zu einem ${\displaystyle p}$-adischen Betrag äquivalent ist. Der Satz wurde 1916 von Alexander Ostrowski bewiesen.

Definitionen

Ein Absolutbetrag auf einem Körper ${\displaystyle K}$ ist eine Abbildung

${\displaystyle \vert .\vert \colon K\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\mapsto \vert x\vert }$,

die für alle ${\displaystyle x,y\in K}$ folgende Eigenschaften erfüllt:

${\displaystyle \vert x\vert \geq 0}$,

${\displaystyle \vert x\vert =0\;\Leftrightarrow \;x=0}$,

${\displaystyle \vert xy\vert =\vert x\vert \vert y\vert }$,

${\displaystyle \vert x+y\vert \leq \vert x\vert +\vert y\vert }$.

Zwei Absolutbeträge ${\displaystyle \vert .\vert }$ und ${\displaystyle \vert .\vert _{*}}$ heißen äquivalent, wenn es eine reelle Zahl ${\displaystyle c>0}$ gibt mit

${\displaystyle \vert x\vert ^{c}=\vert x\vert _{*}}$

für alle ${\displaystyle x\in K}$.

Beispiele

Der triviale Betrag:

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{für }}x=0\\1,&{\text{für }}x\neq 0.\end{cases}}}$.

Die a​uf den reellen Zahlen definierte Betragsfunktion

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{für }}x\geq 0\\-x,&{\text{für }}x<0.\end{cases}}}$.

Der für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ auf den rationalen Zahlen definierte p-adische Betrag:

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\text{für }}x=0\\p^{-n},&{\text{für }}x=p^{n}{\frac {a}{b}}{\text{ mit }}a,b,p{\text{ paarweise teilerfremd und }}n\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Hierbei wird benutzt, dass sich jede rationale Zahl eindeutig als ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$ mit paarweise teilerfremden Zahlen ${\displaystyle p,a,b}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ darstellen lässt.

Satz von Ostrowski

Jeder auf den rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte nichttriviale Absolutbetrag

${\displaystyle \vert .\vert \colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$

ist entweder zur Betragsfunktion ${\displaystyle \vert .\vert _{\infty }}$ oder zu einem ${\displaystyle p}$-adischen Betrag ${\displaystyle \vert .\vert _{p}}$ äquivalent.

Literatur

• Alexander Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung ψ(x)⋅ψ(x)=ψ(xy). Acta Math. 41 (1916), no. 1, 271–284.
• Emil Artin: Algebraic numbers and algebraic functions. I. Institute for Mathematics and Mechanics, New York University, New York, 1951.
• Edwin Weiss: Algebraic number theory. McGraw-Hill Book Co., Inc., New York-San Francisco-Toronto-London 1963.
• A. C. M. van Rooij: Non-Archimedean functional analysis. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., 51. Marcel Dekker, Inc., New York, 1978. ISBN 0-8247-6556-7.
• Fernando Q. Gouvêa: p-adic numbers. An introduction. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1993. ISBN 3-540-56844-1.