Fast überall

Die Sprechweise, d​ass eine Eigenschaft fast überall gilt, stammt a​us der Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, u​nd ist e​ine Abschwächung dafür, d​ass die Eigenschaft für alle Elemente e​iner Menge gilt.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum und eine Eigenschaft , die für alle Elemente von sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft fast überall (oder -fast überall oder für -fast alle Elemente) gilt, wenn es eine -Nullmenge gibt, sodass alle Elemente im Komplement der Nullmenge die Eigenschaft haben.

Bemerkung

Wichtig ist, dass die Eigenschaft wirklich für alle , also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge, auf der nicht gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei vollständigen Maßen fällt beides zusammen.

Beispiele

Lebesgue-Maß

Betrachten wir als Beispiel den Maßraum , das heißt das abgeschlossene Einheitsintervall von 0 bis 1, versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Betrachtet man nun die Funktionenfolge

,

so konvergiert diese auf gegen 0, auf der Punktmenge ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie -fast überall gegen 0.

Die Dirichlet-Funktion

auf dem Einheitsintervall ist -fast überall gleich 0, denn .

Dirac-Maß

Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem Dirac-Maß auf der 1 (). Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall ist eine -Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge -fast überall konstant.

Die Dirichlet-Funktion ist -fast überall gleich 1, denn .

Die Wahl u​nd Angabe d​es verwendeten Maßes i​st also essentiell für d​ie Verwendung d​er Sprechweise „fast überall“.

Abzählbar-Maß

Für eine beliebige Menge ist ein Maßraum, wobei für alle definiert wird:

Der Begriff „-fast alle“ bedeutet dann: Für alle Elemente, mit Ausnahme von höchstens abzählbar vielen.

Ein analoger Maßbegriff z​u „fast alle“ m​it der Bedeutung „für a​lle Elemente b​is auf endlich v​iele Ausnahmen“ i​st über Maße n​icht möglich. Eine derartige Funktion

ist für unendliche nicht σ-additiv.

Fast sicher

In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum eine Eigenschaft, die fast überall gilt, auch als fast sichere (oder -fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

Anwendung

Als typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Maßraum und eine messbare Funktion .

Aus     folgt     fast überall.

Beweis: Wäre nicht fast überall, so wäre und es gäbe ein mit . Da , folgt , im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss fast überall sein.

Siehe auch

Literatur

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.
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