Fast überall

Die Sprechweise, d​ass eine Eigenschaft fast überall gilt, stammt a​us der Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, u​nd ist e​ine Abschwächung dafür, d​ass die Eigenschaft für alle Elemente e​iner Menge gilt.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ und eine Eigenschaft ${\displaystyle E}$, die für alle Elemente von ${\displaystyle \Omega }$ sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft ${\displaystyle E}$ fast überall (oder ${\displaystyle \mu }$-fast überall oder für ${\displaystyle \mu }$-fast alle Elemente) gilt, wenn es eine ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge ${\displaystyle N}$ gibt, sodass alle Elemente im Komplement ${\displaystyle N^{C}}$ der Nullmenge die Eigenschaft haben.

Bemerkung

Wichtig ist, dass die Eigenschaft ${\displaystyle E}$ wirklich für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge, auf der ${\displaystyle E}$ nicht gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei vollständigen Maßen fällt beides zusammen.

Beispiele

Lebesgue-Maß

Betrachten wir als Beispiel den Maßraum ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda )}$, das heißt das abgeschlossene Einheitsintervall von 0 bis 1, versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Betrachtet man nun die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$,

so konvergiert diese auf ${\displaystyle [0,1)}$ gegen 0, auf der Punktmenge ${\displaystyle \{1\}}$ ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie ${\displaystyle \lambda }$-fast überall gegen 0.

Die Dirichlet-Funktion

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational,}}\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational.}}\end{cases}}}$

auf dem Einheitsintervall ist ${\displaystyle \lambda }$-fast überall gleich 0, denn ${\displaystyle \lambda (\{x\in [0,1];D(x)\not =0\})=\lambda ([0,1]\cap \mathbb {Q} )=0}$.

Dirac-Maß

Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem Dirac-Maß auf der 1 (${\displaystyle \mu _{2}=\delta _{1}}$). Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall ${\displaystyle [0,1)}$ ist eine ${\displaystyle \delta _{1}}$-Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge ${\displaystyle \{1\}}$ mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge ${\displaystyle \delta _{1}}$-fast überall konstant.

Die Dirichlet-Funktion ist ${\displaystyle \delta _{1}}$-fast überall gleich 1, denn ${\displaystyle \delta _{1}(\{x\in [0,1];D(x)\not =1\})=\delta _{1}([0,1]\setminus \mathbb {Q} )=0}$.

Die Wahl u​nd Angabe d​es verwendeten Maßes i​st also essentiell für d​ie Verwendung d​er Sprechweise „fast überall“.

Abzählbar-Maß

Für eine beliebige Menge ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu _{\leq \aleph _{0}})}$ ein Maßraum, wobei für alle ${\displaystyle A\subseteq X}$ definiert wird:

${\displaystyle \mu _{\leq \aleph _{0}}(A)={\begin{cases}0,&{\mbox{wenn }}A{\mbox{ abzählbar,}}\\\infty ,&{\mbox{wenn }}A{\mbox{ überabzählbar.}}\end{cases}}}$

Der Begriff „${\displaystyle \mu _{\aleph _{0}}}$-fast alle“ bedeutet dann: Für alle Elemente, mit Ausnahme von höchstens abzählbar vielen.

Ein analoger Maßbegriff z​u „fast alle“ m​it der Bedeutung „für a​lle Elemente b​is auf endlich v​iele Ausnahmen“ i​st über Maße n​icht möglich. Eine derartige Funktion

${\displaystyle \mu _{<\aleph _{0}}(A)={\begin{cases}0,&{\mbox{wenn }}A{\mbox{ endlich,}}\\\infty ,&{\mbox{wenn }}A{\mbox{ unendlich,}}\end{cases}}}$

ist für unendliche ${\displaystyle X}$ nicht σ-additiv.

Fast sicher

In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ eine Eigenschaft, die fast überall gilt, auch als fast sichere (oder ${\displaystyle P}$-fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

Anwendung

Als typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Maßraum ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda )}$ und eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$.

Aus   ${\displaystyle \int _{[0,1]}|f|\mathrm {d} \lambda =0}$   folgt   ${\displaystyle f=0}$   fast überall.

Beweis: Wäre nicht ${\displaystyle f=0}$ fast überall, so wäre ${\displaystyle \textstyle 0<\lambda (\{x\in [0,1];f(x)\not =0\})=\lambda (\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{x\in [0,1];|f(x)|>{\tfrac {1}{n}}\})}$ und es gäbe ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle \textstyle 0<\lambda (\{x\in [0,1];|f(x)|>{\frac {1}{n}}\})}$. Da ${\displaystyle \textstyle |f|\geq {\tfrac {1}{n}}\chi _{\{x\in [0,1];|f(x)|>{\frac {1}{n}}\}}}$, folgt ${\displaystyle \textstyle \int _{[0,1]}|f|\mathrm {d} \lambda \geq \int _{[0,1]}{\frac {1}{n}}\chi _{\{x\in [0,1];|f(x)|>{\frac {1}{n}}\}}\mathrm {d} \lambda ={\frac {1}{n}}\cdot \lambda (\{x\in [0,1];|f(x)|>{\tfrac {1}{n}}\})>0}$, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss ${\displaystyle f=0}$ fast überall sein.

Siehe auch

• Punktweise Konvergenz μ-fast überall
• Gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall
• Fast alle (bei abzählbar unendlichen Grundmengen)

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.